Interesujące problemy matematyczne

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Czym jest dziedzina funkcji i jak ją wyznaczyć w czterech przypadkach: iloczyn pierwiastków, ułamek z pierwiastkiem i mianownikami kwadratowymi, różnica pierwiastków oraz wyrażenie z wartością bezwzględną.

Dziedzina to odpowiedź na pytanie, jakie liczby wolno w ogóle podstawić. Dwa warunki wracają w każdym zadaniu: pod pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być liczby ujemnej, a mianownik nie może być zerem. Gdy warunków jest kilka, wynikiem jest ich część wspólna.

Wyznacz dziedzinę funkcji

Czym jest dziedzina funkcji?

Zbiór dopuszczalnych argumentów, dla których funkcja ma określoną wartość liczbową.

Argumenty oznaczamy najczęściej literą x.

\sqrt{a} \;\Rightarrow\; a \geq 0

zapamiętaj

a)

f(x) = \sqrt{4 - x} \cdot \sqrt{x + 1}

4 - x \geq 0

x \leq 4

x + 1 \geq 0

x \geq -1

x \in \langle -1, 4 \rangle

część wspólna

b)

f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 2} + \frac{1}{x^{2} - 9}

x - 1 \geq 0

x \geq 1

x^{2} - 2 \neq 0

\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right) \neq 0

x \neq \sqrt{2}, \quad x \neq -\sqrt{2}

x^{2} - 9 \neq 0

(x - 3)(x + 3) \neq 0

x \neq 3, \quad x \neq -3

a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)

x \in \langle 1, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 3) \cup (3, +\infty)

część wspólna

c)

f(x) = \sqrt{-x} - \sqrt{2 - x}

-x \geq 0

x \leq 0

2 - x \geq 0

x \leq 2

x \in (-\infty, 0 \rangle

część wspólna

d)

f(x) = \frac{\sqrt{3 - 0{,}5x}}{\sqrt{4 + x}} - \frac{3}{|x| - 3}

3 - 0{,}5x \geq 0

0{,}5x \leq 3 \;/\cdot 2

x \leq 6

4 + x > 0

x > -4

|x| - 3 \neq 0

|x| \neq 3

x \neq -3, \quad x \neq 3

|3| = 3

|-3| = 3

x \in (-4, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, 6 \rangle

część wspólna

Najczęstsze pytania

Czym jest dziedzina funkcji?

To zbiór dopuszczalnych argumentów, czyli tych liczb, dla których funkcja ma określoną wartość liczbową. Argumenty oznaczamy najczęściej literą x.

Dlaczego pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej?

Przy pierwiastku parzystego stopnia w zbiorze liczb rzeczywistych taka wartość nie istnieje, bo żaden kwadrat nie jest ujemny. Stąd warunek: wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zeru.

Co zrobić, gdy warunków jest kilka?

Wypisujemy każdy osobno, a na końcu bierzemy ich część wspólną - liczba musi spełniać wszystkie naraz, nie tylko jeden z nich.

Jak rozwiązać warunek z wartością bezwzględną w mianowniku?

Mianownik nie może być zerem, więc wartość bezwzględna z x nie może równać się trzy. Ponieważ moduł z trzech i moduł z minus trzech dają tę samą liczbę, wykluczamy oba: x różne od 3 i x różne od minus 3.

← Poprzednia

Wartości funkcji wymiernej dla argumentów niewymiernych