Interesujące problemy matematyczne

Wartości funkcji wymiernej dla argumentów niewymiernych

Dla funkcji f(x) = x²/(x−1) liczymy trzy wartości: dla 1−√3, dla 2−√3 oraz dla tangensa π/6. Za każdym razem trzeba usunąć niewymierność z mianownika.

Obliczenie wartości funkcji to podstawienie liczby w miejsce x - proste, dopóki ta liczba nie jest niewymierna. Wtedy dochodzi drugi krok: usunięcie pierwiastka z mianownika przez pomnożenie przez sprzężenie. Trzy przykłady pokazują ten sam schemat w rosnącej trudności.

Dana jest funkcja

f(x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

x to zmienna - zmienia swoją wartość.

Oblicz f(1−√3), f(2−√3) oraz f(tg π/6).

1) Wartość dla 1 − √3

f\left(1 - \sqrt{3}\right) = \frac{\left(1 - \sqrt{3}\right)^{2}}{1 - \sqrt{3} - 1}

= \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{-\sqrt{3}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

= \frac{4\sqrt{3} - 6}{-3} = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6

2) Wartość dla 2 − √3

f\left(2 - \sqrt{3}\right) = \frac{\left(2 - \sqrt{3}\right)^{2}}{2 - \sqrt{3} - 1}

= \frac{4 - 4\sqrt{3} + 3}{1 - \sqrt{3}} = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}

= \frac{7 + 7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 12}{1 - 3} = \frac{-5 + 3\sqrt{3}}{-2} = \frac{5 - 3\sqrt{3}}{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}

4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12

3) Wartość dla tangensa π/6

f\left(\operatorname{tg} \tfrac{\pi}{6}\right) = \frac{\left(\operatorname{tg} \tfrac{\pi}{6}\right)^{2}}{\operatorname{tg} \tfrac{\pi}{6} - 1}

= \frac{\left(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{3} - 1} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{\sqrt{3} - 3}{3}}

= \tfrac{1}{3} : \frac{\sqrt{3} - 3}{3} = \tfrac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3} - 3}

= \frac{1}{\sqrt{3} - 3} \cdot \frac{\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} + 3} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - 9}

= \frac{3 + \sqrt{3}}{-6} = -\tfrac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}

\pi = 180^{\circ}

\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{180^{\circ}}{6} = 30^{\circ}

\operatorname{tg} 30^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{3}

\left(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2} = \tfrac{3}{9} = \tfrac{1}{3}

\tfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 = \tfrac{\sqrt{3}}{3} - \tfrac{3}{3} = \tfrac{\sqrt{3} - 3}{3}

(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}

Najczęstsze pytania

Jak usunąć niewymierność z mianownika?

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli to samo wyrażenie z odwróconym znakiem. Iloczyn sumy przez różnicę daje różnicę kwadratów, w której pierwiastek znika.

Ile wynosi tangens 30 stopni?

Pierwiastek z trzech podzielony przez trzy. Kąt π/6 w mierze łukowej to właśnie 30 stopni.

Czym jest zmienna w zapisie funkcji?

To miejsce, w które podstawiamy kolejne liczby - stąd nazwa: zmienna zmienia swoją wartość. W zapisie f(x) = x²/(x−1) zmienną jest x i występuje w dwóch miejscach naraz.

← Poprzednia

Ułamek piętrowy z potęgami ujemnymi i logarytmami

Następna →

Wyznaczanie dziedziny funkcji