Interesujące problemy matematyczne

Ułamek piętrowy z potęgami ujemnymi i logarytmami

Duży ułamek piętrowy: w liczniku potęgi o wykładnikach ujemnych i pierwiastek z liczby ujemnej, w mianowniku iloczyn logarytmów i dzielenie liczb mieszanych. Rozwiązanie krok po kroku.

Całe zadanie sprowadza się do cierpliwości: każdy człon zamieniamy osobno na zwykły ułamek, a dopiero potem składamy piętra. Warto zauważyć, że pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje - stopień jest nieparzysty.

Oblicz

\frac{\left(6^{-1} - \left(\sqrt{3}\right)^{-4}\right) : \left(0{,}5^{-2} + \sqrt[3]{-8^{-1}}\right)}{\log_{8} 0{,}5 \cdot \log_{32} 2 - 1\tfrac{2}{3} : \left(-2\tfrac{1}{2}\right)}

Rozwiązanie

\frac{\left(\tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{9}\right) : \left(4 - \tfrac{1}{2}\right)}{-\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{5} - \tfrac{5}{3} : \left(-\tfrac{5}{2}\right)}

\frac{\tfrac{1}{18} : \tfrac{7}{2}}{-\tfrac{1}{15} - \tfrac{5}{3} \cdot \left(-\tfrac{2}{5}\right)}

\frac{\tfrac{1}{18} \cdot \tfrac{2}{7}}{-\tfrac{1}{15} + \tfrac{2}{3}} = \frac{\tfrac{1}{63}}{\tfrac{9}{15}}

\tfrac{1}{63} : \tfrac{9}{15} = \tfrac{1}{63} \cdot \tfrac{15}{9} = \tfrac{5}{189}

Notatki na marginesie

6^{-1} = \tfrac{1}{6}

\left(\sqrt{3}\right)^{-4} = \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{4} = \tfrac{1}{9}

0{,}5^{-2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^{2} = 4

\sqrt[3]{-8^{-1}} = \sqrt[3]{-\tfrac{1}{8}} = \left(-\tfrac{1}{8}\right)^{\tfrac{1}{3}} = -\tfrac{1}{2}

\log_{8} 0{,}5 = \log_{8} \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; 8^{-\tfrac{1}{3}} = \tfrac{1}{2}

\log_{32} 2 = \tfrac{1}{5} \;\Rightarrow\; 32^{\tfrac{1}{5}} = 2

Zauważ, że 2⁵ = 32.

\tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{9} = \tfrac{3}{18} - \tfrac{2}{18} = \tfrac{1}{18}

4 - \tfrac{1}{2} = 3\tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2}

-\tfrac{1}{15} + \tfrac{2}{3} = -\tfrac{1}{15} + \tfrac{10}{15} = \tfrac{9}{15}

Najczęstsze pytania

Jak policzyć potęgę o wykładniku ujemnym?

Bierzemy odwrotność podstawy i podnosimy ją do wykładnika dodatniego. Dlatego 0,5 do potęgi minus drugiej to dwa do kwadratu, czyli cztery.

Ile wynosi logarytm o podstawie 8 z liczby 0,5?

Minus jedna trzecia, bo osiem do potęgi minus jedna trzecia daje jedną drugą. Zapisujemy 0,5 jako jedną drugą i szukamy wykładnika przy podstawie osiem.

Jak dzielić przez ułamek piętrowy?

Mnożymy przez jego odwrotność. Dzielenie jednej sześćdziesiątej trzeciej przez dziewięć piętnastych to mnożenie przez piętnaście dziewiątych.

← Poprzednia

Potęgi o wykładniku logarytmicznym

Następna →

Wartości funkcji wymiernej dla argumentów niewymiernych