Interesujące problemy matematyczne

Potęgi o wykładniku logarytmicznym

Wyrażenie, w którym logarytm stoi w wykładniku potęgi. Rozwiązanie korzysta z prawa o wykładniku logarytmu i z tożsamości a do potęgi log a z b równa się b.

Logarytm w wykładniku wygląda niepokojąco, ale to najkrótsza droga do wyniku. Klucz jest jeden: a podniesione do potęgi log a z b równa się po prostu b. Trzeba tylko doprowadzić podstawę potęgi i podstawę logarytmu do tej samej liczby.

Oblicz

3^{\log_{9} 27} + \log_{\tfrac{1}{3}} 9 - \left(\sqrt{3}\right)^{\log_{3} 16}

Rozwiązanie

3^{\tfrac{3}{2}} + (-2) - \left(\sqrt{3}\right)^{\log_{3} 16}

\left(3^{\tfrac{1}{2}}\right)^{3} - 2 - 4

\left(\sqrt{3}\right)^{3} - 6 = 3\sqrt{3} - 6

Notatki na marginesie

\log_{9} 27 = \log_{9} 3^{3} = 3 \log_{9} 3

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

\log_{9} 3 = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; 9^{\tfrac{1}{2}} = 3

3 \log_{9} 3 = 3 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}

\log_{\tfrac{1}{3}} 9 = -2 \;\Rightarrow\; \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9

\sqrt{3} = 3^{\tfrac{1}{2}} \;\Rightarrow\; \left(3^{\tfrac{1}{2}}\right)^{\log_{3} 16} = 3^{\tfrac{1}{2}\log_{3} 16} = 3^{\log_{3} 16^{\tfrac{1}{2}}} = 3^{\log_{3} 4} = 4

a^{\log_{a} b} = b

Najczęstsze pytania

Dlaczego a do potęgi log a z b równa się b?

Bo logarytm o podstawie a z liczby b to z definicji ten wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b. Podniesienie a do tego wykładnika musi więc dać z powrotem b.

Ile wynosi logarytm o podstawie jedna trzecia z dziewięciu?

Minus dwa, ponieważ jedna trzecia do potęgi minus drugiej daje dziewięć. Podstawa mniejsza od jedynki sprawia, że logarytm liczby większej od jedynki jest ujemny.

Jak uprościć logarytm z potęgi?

Wykładnik wychodzi przed logarytm: logarytm z x do potęgi p równa się p razy logarytm z x. Dlatego log₉27 zapisujemy jako log₉3³, czyli 3 log₉3.

← Poprzednia

Ułamek z potęgami, kwadrat logarytmu i sinus 210°

Następna →

Ułamek piętrowy z potęgami ujemnymi i logarytmami