Interesujące problemy matematyczne

Ułamek z potęgami, kwadrat logarytmu i sinus 210°

Jedno wyrażenie łączące potęgę o wykładniku ułamkowym, pierwiastki, kwadrat logarytmu o podstawie 4 oraz sinus kąta z trzeciej ćwiartki. Rozwiązanie krok po kroku.

Trzy różne działy w jednym rachunku: potęgi, logarytmy i trygonometria. Każdy człon liczy się osobno i dopiero na końcu wszystko się spotyka. Warto zwrócić uwagę na zapis log²₄32 - to kwadrat logarytmu, a nie logarytm kwadratu.

Oblicz

\frac{64^{\tfrac{2}{3}} \cdot \sqrt{8}}{0{,}5^{-4} \cdot \sqrt[4]{4}} - \log^{2}_{4} 32 - \tfrac{1}{2} \sin \tfrac{7\pi}{6}

Rozwiązanie

\frac{32\sqrt{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-4} \cdot 4^{\tfrac{1}{4}}} - \left(\log_{4} 2^{5}\right)^{2} - \tfrac{1}{2} \sin 210^{\circ}

\frac{32\sqrt{2}}{2^{4} \cdot (2^{2})^{\tfrac{1}{4}}} - \left(5 \log_{4} 2\right)^{2} - \tfrac{1}{2} \sin 210^{\circ}

\frac{32\sqrt{2}}{16 \cdot 2^{\tfrac{1}{2}}} - \left(5 \cdot \tfrac{1}{2}\right)^{2} - \tfrac{1}{2} \sin 210^{\circ}

\frac{32\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} - \left(\tfrac{5}{2}\right)^{2} - \tfrac{1}{2} \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)

2 - \tfrac{25}{4} + \tfrac{1}{4} = -\tfrac{17}{4} + \tfrac{1}{4} = -\tfrac{16}{4} = -4

Notatki na marginesie

64^{\tfrac{2}{3}} = \left(64^{\tfrac{1}{3}}\right)^{2} = 4^{2} = 16

\sqrt{8} = 2\sqrt{2}

16 \cdot 2\sqrt{2} = 32\sqrt{2}

32 = 2^{5}

\log^{2}_{4} 32 = \left(\log_{4} 32\right)^{2}

\log_{4} 2 = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; 4^{\tfrac{1}{2}} = 2

\log_{a} x^{p} = p \cdot \log_{a} x

\pi = 180^{\circ}

\tfrac{7}{6} \cdot 180^{\circ} = 210^{\circ}

\sin 210^{\circ} = \sin (180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\tfrac{1}{2}

Najczęstsze pytania

Czym różni się log²₄32 od log₄32²?

Pierwszy zapis to kwadrat logarytmu: najpierw liczymy log₄32, potem podnosimy wynik do kwadratu. Drugi to logarytm kwadratu, czyli log₄ z liczby 1024. To dwie różne liczby.

Ile wynosi sinus 210 stopni?

Minus jedna druga. Kąt 210° zapisujemy jako 180° plus 30°, a sinus takiej sumy to minus sinus 30 stopni.

Jak policzyć 64 do potęgi dwie trzecie?

Rozbijamy wykładnik: najpierw pierwiastek trzeciego stopnia z 64, czyli 4, potem podnosimy do kwadratu i wychodzi 16. Kolejność można odwrócić, wynik będzie ten sam.

← Poprzednia

Kwadrat różnicy pierwiastków razy cosinus 120°

Następna →

Potęgi o wykładniku logarytmicznym