Interesujące problemy matematyczne

Kwadrat różnicy pierwiastków razy cosinus 120°

Zadanie łączące wzór skróconego mnożenia, potęgę o wykładniku ułamkowym i wartość cosinusa kąta rozwartego. Rozwiązanie krok po kroku z wzorami pomocniczymi na marginesie.

Wyrażenie wygląda groźnie, bo pierwiastki są zagnieżdżone, ale rozkłada się na trzy znane kroki: kwadrat różnicy, iloczyn sumy przez różnicę pod wspólnym pierwiastkiem i wartość cosinusa 120°. Po każdym z nich zostaje coraz mniej.

Oblicz

\left(\left(\sqrt{13} + 2\right)^{\tfrac{1}{2}} - \left(\sqrt{13} - 2\right)^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2} \cdot \cos \tfrac{2}{3}\pi

Rozwiązanie

\left[\left(\left(\sqrt{13} + 2\right)^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2} - 2\left(\left(\sqrt{13} + 2\right)\left(\sqrt{13} - 2\right)\right)^{\tfrac{1}{2}} + \left(\left(\sqrt{13} - 2\right)^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2}\right] \cdot \cos \tfrac{2}{3}\pi

(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

\left(\sqrt{13} + 2 - 2(13 - 4)^{\tfrac{1}{2}} + \sqrt{13} - 2\right) \cdot \cos \tfrac{2}{3}\pi

\left(a^{\tfrac{1}{2}}\right)^{2} = a^{\tfrac{1}{2} \cdot 2} = a^{1} = a

(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}

\left(2\sqrt{13} - 2 \cdot 9^{\tfrac{1}{2}}\right) \cdot \cos 120^{\circ}

\left(2\sqrt{13} - 6\right) \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)

-\sqrt{13} + 3 = 3 - \sqrt{13}

Notatki na marginesie

\pi = 180^{\circ}

miara łukowa na stopnie

\tfrac{2}{3} \cdot 180^{\circ} = 120^{\circ}

\cos 120^{\circ} = \cos (90^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\tfrac{1}{2}

wartość cosinusa kąta rozwartego

Najczęstsze pytania

Dlaczego iloczyn pierwiastków można połączyć pod jednym pierwiastkiem?

Bo potęgi o tym samym wykładniku mnoży się, mnożąc podstawy: a do n razy b do n równa się iloczyn a razy b, całość do n. Pierwiastek to potęga o wykładniku ułamkowym, więc reguła działa tak samo.

Ile wynosi cosinus 120 stopni?

Minus jedna druga. Zapisujemy 120° jako 90° plus 30°, a cosinus takiej sumy to minus sinus 30 stopni, czyli minus jedna druga.

Jak zamienić miarę łukową na stopnie?

Wystarczy podstawić 180 stopni za π. Dwie trzecie π to dwie trzecie razy 180 stopni, czyli 120 stopni.

Następna →

Ułamek z potęgami, kwadrat logarytmu i sinus 210°