Od zera do inżyniera

Przekształcanie wzorów i obliczanie wartości funkcji

Wyznaczanie wielkości ukrytej pod pierwiastkiem lub występującej po obu stronach wzoru oraz obliczanie wartości funkcji f(x) dla argumentu całkowitego, ułamkowego i ujemnego.

Najtrudniejszy przypadek przekształcania wzoru to ten, w którym szukana litera występuje po obu stronach. Recepta jest zawsze ta sama: zebrać wszystkie wyrazy z tą literą po jednej stronie, resztę po drugiej, a potem wyłączyć ją przed nawias i podzielić. Druga część lekcji to zapis f(x): to nic innego niż wzór z nazwą, a f(3) znaczy „podstaw 3 w miejsce x".

Przekształcanie wzorów

Przekształć wzór tak, aby zmienną zależną było r.

\begin{aligned}d &= 2\sqrt{h(2r - h)} \;\Big/ : 2 \\\frac{d}{2} &= \sqrt{h(2r - h)} \;\Big/ ^{2} \\\frac{d^{2}}{4} &= h(2r - h) \;\Big/ \cdot \frac{1}{h} \\\frac{d^{2}}{4h} &= 2r - h \\\frac{d^{2}}{4h} + h &= 2r \;\Big/ \cdot \frac{1}{2} \\r &= \frac{1}{2}\left(\frac{d^{2}}{4h} + h\right)\end{aligned}

Przekształć wzór tak, aby zmienną zależną było R.

\begin{aligned}V &= \frac{\pi h(3R^{2} + h^{2})}{6} \;\Big/ \cdot 6 \\6V &= \pi h(3R^{2} + h^{2}) \;\Big/ : \pi h \\\frac{6V}{\pi h} &= 3R^{2} + h^{2} \\\frac{6V}{\pi h} - h^{2} &= 3R^{2} \;\Big/ \cdot \frac{1}{3} \\\frac{2V}{\pi h} - \frac{1}{3}h^{2} &= R^{2} \;\Big/ \sqrt{\phantom{x}} \\R &= \sqrt{\frac{2V}{\pi h} - \frac{1}{3}h^{2}}\end{aligned}

Przekształć wzór tak, aby zmienną zależną było J.

\begin{aligned}n &= \frac{JR}{E - Jr} \;\Big/ \cdot (E - Jr) \\n(E - Jr) &= JR \\nE - nJr &= JR \\nE &= JR + nJr = J(R + nr) \;\Big/ : (R + nr) \\J &= \frac{nE}{R + nr}\end{aligned}

Przekształć wzór tak, aby zmienną zależną było f.

\begin{aligned}\frac{R}{r} &= \sqrt{\frac{f + P}{f - P}} \;\Big/ ^{2} \\\frac{R^{2}}{r^{2}} &= \frac{f + P}{f - P} \\R^{2}(f - P) &= r^{2}(f + P) \\fR^{2} - PR^{2} &= fr^{2} + Pr^{2} \\fR^{2} - fr^{2} &= PR^{2} + Pr^{2} \\f(R^{2} - r^{2}) &= P(R^{2} + r^{2}) \;\Big/ : (R^{2} - r^{2}) \\f &= \frac{P(R^{2} + r^{2})}{R^{2} - r^{2}}\end{aligned}

Przekształć wzór tak, aby zmienną zależną było m.

\begin{aligned}f &= \frac{S(M - m)}{M + m} \;\Big/ \cdot (M + m) \\f(M + m) &= S(M - m) \\fM + fm &= SM - Sm \\fm + Sm &= SM - fM \\m(f + S) &= M(S - f) \;\Big/ : (f + S) \\m &= \frac{M(S - f)}{f + S}\end{aligned}

Wartości funkcji

Zapis f(x) to wzór z nazwą, a f(3) oznacza wynik podstawienia liczby 3 w miejsce każdego x. Argument warto wpisywać w nawias, bo przy liczbach ujemnych decyduje on o znaku potęgi.

f(x) = 4x^{3} - \frac{6}{2x}

\text{a)}\quad f(3) = 4\cdot 3^{3} - \frac{6}{2\cdot 3} = 4\cdot 27 - 1 = 107

\text{b)}\quad f(-4) = 4\cdot(-4)^{3} - \frac{6}{2\cdot(-4)} = 4\cdot(-64) + \frac{6}{8} = -256 + \frac{3}{4} = -255\tfrac{1}{4} = -255{,}25

\begin{aligned}\text{c)}\quad f\left(\tfrac{2}{5}\right) &= 4\cdot\left(\tfrac{2}{5}\right)^{3} - \frac{6}{2\cdot\tfrac{2}{5}} = 4\cdot\frac{8}{125} - \frac{6}{\tfrac{4}{5}} = \frac{32}{125} - 6\cdot\frac{5}{4} = \frac{32}{125} - \frac{15}{2} = \\&= \frac{64}{250} - \frac{1875}{250} = -\frac{1811}{250} = -7\tfrac{61}{250} = -7{,}244\end{aligned}

\begin{aligned}\text{d)}\quad f(-3{,}24) &= 4\cdot(-3{,}24)^{3} - \frac{6}{2\cdot(-3{,}24)} = -136{,}0489 + 0{,}926 = \\&= -135{,}12\end{aligned}

z dokładnością do pięciu cyfr znaczących

Zadania powtórkowe

Oblicz wartość każdego wyrażenia z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

\text{a)}\quad J = \frac{nE}{R + nr}

n = 4,\quad E = 1{,}08,\quad R = 5,\quad r = 0{,}04

J = \frac{4\cdot 1{,}08}{5 + 4\cdot 0{,}04} = \frac{4{,}32}{5 + 0{,}16} = \frac{4{,}32}{5{,}16} = 0{,}837

4\cdot 1{,}08 = 4{,}32

4\cdot 0{,}04 = 0{,}16

5 + 0{,}16 = 5{,}16

\text{b)}\quad A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^{n}

P = 285{,}79,\quad r = 5{,}25,\quad n = 12

\begin{aligned}A &= 285{,}79\left(1 + \frac{5{,}25}{100}\right)^{12} = 285{,}79\left(1 + 0{,}0525\right)^{12} = \\&= 285{,}79\cdot 1{,}0525^{12} = 285{,}79\cdot 1{,}848 = 528\end{aligned}

\text{c)}\quad P = A\,\frac{(nv/u)^{\frac{3}{2}}}{1 + (nv/u)^{3}}

A = 40,\quad u = 30,\quad n = 2{,}5,\quad v = 42{,}75

\begin{aligned}P &= 40\cdot\frac{(2{,}5\cdot 42{,}75 : 30)^{\frac{3}{2}}}{1 + (2{,}5\cdot 42{,}75 : 30)^{3}} = 40\cdot\frac{3{,}5625^{\frac{3}{2}}}{1 + 3{,}5625^{3}} = 40\cdot\frac{6{,}724}{1 + 45{,}213} = \\&= \frac{268{,}96}{46{,}213} = 5{,}82\end{aligned}

2{,}5\cdot 42{,}75 : 30 = 3{,}5625

40\cdot 6{,}724 = 268{,}96

Dla f(x) = 3x² − 4x oblicz f(2) oraz f(−3).

f(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 = 12 - 8 = 4

f(-3) = 3\cdot(-3)^{2} - 4\cdot(-3) = 27 + 12 = 39

Najczęstsze pytania

Co zrobić, gdy szukana litera jest po obu stronach wzoru?

Przenosimy wszystkie wyrazy z tą literą na jedną stronę, a pozostałe na drugą, po czym wyłączamy ją przed nawias. Z fM + fm = SM − Sm wychodzi m(f + S) = M(S − f), czyli m = M(S − f)/(f + S).

Co oznacza zapis f(3)?

Wartość funkcji dla argumentu 3, czyli wynik podstawienia 3 w miejsce każdego x. Dla f(x) = 3x² − 4x mamy f(2) = 3·4 − 8 = 4, a f(−3) = 3·9 + 12 = 39.

Na co uważać przy ujemnym argumencie?

Na znaki przy potęgach: (−4)³ = −64, ale (−3)² = 9. Argument zawsze warto wpisać w nawias, bo bez niego −4³ znaczy coś zupełnie innego niż (−4)³.

Kiedy trzeba zamienić dzielenie przez ułamek na mnożenie?

Zawsze, gdy w mianowniku stoi ułamek. Przy f(2/5) mamy 6 : (4/5), czyli 6 · 5/4 = 15/2 - próba dzielenia „w pamięci" jest tu najczęstszym źródłem pomyłki.

← Poprzednia

Obliczanie wartości ze wzoru i przekształcanie wzorów

Następna →

Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta