Od zera do inżyniera

Obliczanie wartości ze wzoru i przekształcanie wzorów

Podstawianie danych do wzoru i zaokrąglanie wyniku, zmienna zależna i niezależna oraz przekształcanie wzoru tak, żeby wyznaczyć dowolną z występujących w nim wielkości.

Wzór sam w sobie nic nie liczy - liczy dopiero wtedy, gdy podstawimy pod litery liczby. Ta lekcja pokazuje obie strony tej czynności. Najpierw podstawianie wprost: mamy wzór i wszystkie dane oprócz jednej wielkości, którą wzór podaje wprost. Potem sytuacja częstsza w praktyce inżynierskiej: szukana wielkość siedzi w środku wzoru, pod pierwiastkiem albo w mianowniku, i trzeba najpierw przekształcić wzór, a dopiero potem podstawić liczby.

Obliczanie wartości ze wzoru

Podstawiamy dane pod litery i liczymy w kolejności działań. Wynik zaokrąglamy dopiero na końcu, do dokładności podanej w zadaniu.

2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

\pi = 3{,}1415,\quad l = 2,\quad g = 9{,}81

2\cdot 3{,}1415\sqrt{\frac{2}{9{,}81}} = 6{,}2830\sqrt{0{,}2039} = 6{,}2830\cdot 0{,}4516 = 2{,}84

z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku

V = \frac{\pi h}{6}(3R^{2} + h^{2})

h = 2{,}85,\quad R = 6{,}24,\quad \pi = 3{,}142

\begin{aligned}V &= \frac{3{,}142\cdot 2{,}85}{6}\left(3\cdot 6{,}24^{2} + 2{,}85^{2}\right) = 1{,}492\left(116{,}8128 + 8{,}1225\right) = \\&= 1{,}492\cdot 124{,}9353 = 186{,}40\end{aligned}

3\cdot 6{,}24^{2} = 116{,}8128

2{,}85^{2} = 8{,}1225

116{,}8128 + 8{,}1225 = 124{,}9353

z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku

R = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

R_{1} = 276,\quad R_{2} = 145

R = \frac{276\cdot 145}{276 + 145} = \frac{40\,020}{421} = 95{,}06

\frac{276\cdot 145}{276 + 145} = \frac{40020}{421}

z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku

V = \frac{\pi b}{12}(D^{2} + Dd + d^{2})

b = 1{,}46,\quad D = 0{,}864,\quad d = 0{,}517,\quad \pi = 3{,}142

\begin{aligned}V &= \frac{3{,}142\cdot 1{,}46}{12}\left(0{,}864^{2} + 0{,}864\cdot 0{,}517 + 0{,}517^{2}\right) \\V &= 0{,}382\left(0{,}746 + 0{,}447 + 0{,}267\right) \\V &= 0{,}382\cdot 1{,}46 = 0{,}558\end{aligned}

z dokładnością do trzech cyfr znaczących

Zmienna zależna i niezależna

W każdym wzorze jedna litera stoi sama po lewej stronie i jej wartość wynika z pozostałych. To zmienna zależna. Litery po prawej, za które podstawiamy dane, są zmiennymi niezależnymi.

r = 2s^{3} + 3t

r zależna, s oraz t niezależne

Wyznaczanie zmiennej niezależnej

Gdy szukana wielkość nie stoi sama po lewej stronie, najpierw przekształcamy wzór, a dopiero potem podstawiamy liczby. Kolejne działania wykonujemy po obu stronach - zapis po kresce ukośnej mówi, co robimy z całym równaniem.

Oblicz l.

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

\pi = 3{,}14,\quad g = 9{,}81,\quad T = 1{,}03

\begin{aligned}T &= 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \;\Big/ : 2\pi \\\frac{T}{2\pi} &= \sqrt{\frac{l}{g}} \;\Big/ ^{2} \\\frac{T^{2}}{4\pi^{2}} &= \frac{l}{g} \;\Big/ \cdot g \\l &= \frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}\end{aligned}

\begin{aligned}l &= \frac{9{,}81\cdot 1{,}03^{2}}{4\cdot 3{,}14^{2}} = \frac{9{,}81\cdot 1{,}0609}{4\cdot 9{,}8596} \\l &= 0{,}264\end{aligned}

1{,}03^{2} = 1{,}0609

3{,}14^{2} = 9{,}8596

z dokładnością do trzech cyfr znaczących

Oblicz r.

J = \frac{nE}{R + nr}

n = 6,\quad E = 2{,}01,\quad R = 12,\quad J = 0{,}98

\begin{aligned}J &= \frac{nE}{R + nr} \;\Big/ \cdot (R + nr) \\J(R + nr) &= nE \\JR + Jnr &= nE \\Jnr &= nE - JR \;\Big/ : Jn \\r &= \frac{nE - JR}{Jn}\end{aligned}

r = \frac{6\cdot 2{,}01 - 0{,}98\cdot 12}{0{,}98\cdot 6} = \frac{12{,}06 - 11{,}76}{5{,}88} = 0{,}051

6\cdot 2{,}01 = 12{,}06

0{,}98\cdot 12 = 11{,}76

0{,}98\cdot 6 = 5{,}88

z dokładnością do dwóch cyfr znaczących

Przekształcanie wzorów

Przekształć wzór tak, aby zmienną zależną było a.

\begin{aligned}v &= u + at \\v - u &= at \;\Big/ : t \\a &= \frac{v - u}{t}\end{aligned}

Przekształć wzór tak, aby zmienną zależną było u.

\begin{aligned}a &= \frac{2(ut - s)}{t^{2}} \;\Big/ \cdot t^{2} \\at^{2} &= 2ut - 2s \\at^{2} + 2s &= 2ut \;\Big/ : 2t \\u &= \frac{at^{2} + 2s}{2t}\end{aligned}

Najczęstsze pytania

Czym różni się zmienna zależna od niezależnej?

We wzorze r = 2s³ + 3t litera r jest zmienną zależną, bo jej wartość wynika z pozostałych, a s i t są zmiennymi niezależnymi - to za nie podstawiamy dane. Po przekształceniu wzoru role się zmieniają.

Jak wyznaczyć wielkość spod pierwiastka?

Najpierw uwalniamy pierwiastek od wszystkiego, co stoi obok, potem podnosimy obie strony do kwadratu. Z T = 2π√(l/g) dzielimy przez 2π, podnosimy do kwadratu i mnożymy przez g, co daje l = gT²/(4π²).

Jak wyznaczyć literę, która stoi w mianowniku?

Mnożymy obie strony przez cały mianownik, opuszczamy nawiasy i zbieramy wyrazy z szukaną literą po jednej stronie. Z J = nE/(R + nr) wychodzi Jnr = nE − JR, czyli r = (nE − JR)/(Jn).

Do ilu miejsc zaokrąglać wynik?

Do tylu, ile mają dane. Jeśli w zadaniu podano R₁ = 276 i R₂ = 145, wynik 95,059382... zapisujemy jako 95,06 - dalsze cyfry są pozorną dokładnością, bo same dane jej nie mają.

← Poprzednia

Algebra - zadania powtórkowe

Następna →

Przekształcanie wzorów i obliczanie wartości funkcji