Baza wiedzy · Matematyka - klasa 4Matematyka - klasa 4
Liczby naturalne. Oś liczbowa
Cyfry i ich miejsce w liczbie, porównywanie liczb, liczby naturalne i oś liczbowa - z przykładami krok po kroku dla klasy 4.
Liczb używasz od rana do wieczora: na zegarku, w sklepie, w numerze autobusu, w wyniku meczu. A wszystkie, nawet te bardzo duże, zapisujemy tylko dziesięcioma znakami. W tej lekcji zobaczysz, jak to możliwe, jak jednym spojrzeniem sprawdzić, która z dwóch liczb jest większa, i jak ustawić wszystkie liczby po kolei na jednej prostej - na osi liczbowej.
Czym różni się cyfra od liczby?
Cyfry to znaki, którymi zapisujemy liczby. Jest ich dokładnie dziesięć:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cyfry są jak litery, a liczby jak słowa. Z liter układasz słowa, a z cyfr - liczby. Liczba 7 jest zapisana jedną cyfrą, liczba 305 - trzema, a liczba 2 026 - czterema.
Cyfra to jeden znak. Liczbę zapisujesz za pomocą jednej albo kilku cyfr.
Dlaczego cyfr jest akurat dziesięć? Uważa się, że to dlatego, że ludzie od bardzo dawna liczyli na palcach, a palców u rąk mamy dziesięć. Stąd nazwa naszego sposobu zapisywania liczb: system dziesiątkowy.
Ile cyfr ma liczba 2 026? A ilu różnych cyfr użyto do jej zapisania?
Podpowiedź: Cyfry mogą się powtarzać. Policz je dwa razy: raz wszystkie, raz tylko różne.
Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Odpowiedź
Liczba 2 026 ma cztery cyfry: 2, 0, 2 i 6. Różne są tylko trzy: 2, 0 i 6, bo dwójka występuje dwa razy.
Dlaczego ta sama cyfra może oznaczać 5, 50 albo 500?
Popatrz na liczbę 555. Trzy razy ta sama cyfra, a każda piątka znaczy coś innego. Pierwsza od prawej to pięć jedności. Druga to pięć dziesiątek, czyli 50. Trzecia to pięć setek, czyli 500.
Cyfra 5 zawsze jest piątką, ale to, jaką liczbę oznacza, zależy od miejsca, na którym stoi. Dlatego nasz zapis nazywamy pozycyjnym - pozycja to po prostu miejsce.
Każde miejsce ma wartość dziesięć razy większą niż miejsce po jego prawej stronie: dziesięć jedności to jedna dziesiątka, dziesięć dziesiątek to jedna setka, dziesięć setek to jeden tysiąc. Zobacz, co oznacza każda cyfra liczby 3 725:
| tysiące | setki | dziesiątki | jedności |
|---|---|---|---|
| 3 | 7 | 2 | 5 |
| 3 000 | 700 | 20 | 5 |
Po co jest zero?
Zero wygląda, jakby nic nie znaczyło, ale ma bardzo ważne zadanie: pilnuje miejsca. W liczbie 305 zero mówi, że dziesiątek nie ma, i dzięki niemu trójka zostaje na miejscu setek. Wykreśl je, a zostanie 35 - trójka spadnie na miejsce dziesiątek i będzie oznaczać już tylko 30.
Duże liczby dzielimy na trójki
Im dłuższa liczba, tym więcej miejsc. Żeby się w nich nie pogubić, duże liczby zapisujemy z odstępem co trzy cyfry, licząc od prawej. Pierwsza trójka od prawej to jedności, dziesiątki i setki, następna - tysiące, a jeszcze następna - miliony.
| setki tysięcy | dziesiątki tysięcy | tysiące | setki | dziesiątki | jedności |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 0 | 3 | 1 | 8 |
| 200 000 | 50 000 | 0 | 300 | 10 | 8 |
W liczbie 4 404 są trzy czwórki. Jaką liczbę oznacza każda z nich?
Podpowiedź: Ustal najpierw, na jakim miejscu stoi każda czwórka. Zero na miejscu dziesiątek też się liczy.
Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Odpowiedź
Pierwsza czwórka od lewej stoi na miejscu tysięcy, więc oznacza 4 000. Druga stoi na miejscu setek - oznacza 400. Ostatnia oznacza 4 jedności. Zero mówi, że dziesiątek nie ma wcale.
Jak porównać dwie liczby?
Do porównywania liczb służą trzy znaki:
Pierwszy zapis czytamy „siedem jest większe od trzech”, drugi - „trzy jest mniejsze od siedmiu”, a trzeci - „pięć równa się pięć”.
Jak nie pomylić > z <? Znak zawsze otwiera się w stronę większej liczby, a ostrym końcem wskazuje mniejszą.
Najpierw policz cyfry
Jeśli jedna liczba ma więcej cyfr niż druga, to ona jest większa - i nie trzeba nawet patrzeć, jakie to cyfry. Dlaczego? Bo najmniejsza liczba czterocyfrowa, 1 000, jest i tak większa od największej trzycyfrowej, czyli od 999.
Potem porównuj cyfry od lewej
Gdy liczby mają tyle samo cyfr, porównujesz je od lewej strony, miejsce po miejscu. Pierwsza cyfra, która się różni, rozstrzyga wszystko:
Dlaczego wystarczy ta jedna cyfra, a dalsze się nie liczą? Bo jedna setka więcej przeważy wszystko, co może stać na miejscu dziesiątek i jedności. Tam zmieści się najwyżej 99, a to wciąż mniej niż 100.
Najczęstszy błąd
Niektórzy patrzą, która liczba ma „większe cyfry”, na przykład dużo dziewiątek. Tak powstaje taki błąd:
niepoprawnie
poprawnie
Tysiące są równe - po 5. Ale na miejscu setek liczba 5 099 ma 0, a 5 100 ma 1. Tu wszystko się rozstrzyga, a dziewiątki stoją dalej na prawo i nie mają już nic do powiedzenia.
Co to są liczby naturalne?
Liczby, którymi liczysz przedmioty - zero, jeden, dwa, trzy i tak dalej - nazywamy liczbami naturalnymi:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Najmniejsza liczba naturalna to 0. Największej nie ma: do każdej liczby naturalnej możesz dodać 1 i dostaniesz jeszcze większą.
W polskiej szkole zero należy do liczb naturalnych. Nie wszędzie tak jest - w części podręczników na świecie liczby naturalne zaczynają się od 1. To umowa, a nie odkrycie.
Co to jest oś liczbowa?
Wszystkie liczby naturalne da się ustawić po kolei na jednej prostej. Taką prostą nazywamy osią liczbową. Do jej narysowania potrzebujesz trzech rzeczy:
- punkt 0 - od niego zaczynasz;
- odcinek jednostkowy, czyli odcinek od 0 do 1 - jego długość wybierasz sam, na przykład 2 kratki w zeszycie;
- strzałkę na końcu - pokazuje, w którą stronę liczby rosną.
Żeby dojść do liczby 4, odkładasz od zera cztery odcinki jednostkowe. Do liczby 9 - dziewięć. Dlatego wszystkie odstępy między sąsiednimi kreskami muszą być jednakowe: gdyby jeden był dłuższy, liczby za nim leżałyby w złych miejscach.
Z osi od razu odczytasz, która liczba jest większa: większa leży zawsze na prawo od mniejszej.
Jak odczytać odległość między liczbami na osi?
Odległość między dwiema liczbami na osi to liczba odcinków jednostkowych, które je dzielą. Między 3 a 8 jest ich pięć:
Nie musisz ich liczyć po kolei. Wystarczy od większej liczby odjąć mniejszą:
Jaka jest odległość na osi liczbowej między liczbami 12 i 30?
Podpowiedź: Odejmij mniejszą liczbę od większej.
Pokaż odpowiedźUkryj odpowiedź
Odpowiedź
Między 12 a 30 mieści się 18 odcinków jednostkowych, więc odległość wynosi 18.
Co zrobić, gdy liczby są duże?
Oś z liczbami do 10 zmieści się w każdym zeszycie. Ale co z liczbą 80? Kratka w zeszycie ma pół centymetra. Gdyby odcinek jednostkowy miał 1 kratkę, do 80 potrzebowałbyś 80 kratek, czyli 40 centymetrów - więcej, niż ma szerokość zeszytu.
Dlatego nie zawsze zaznaczamy na osi każdą liczbę. Kreski można stawiać na przykład co 5 - wtedy odcinek między sąsiednimi kreskami odpowiada pięciu jednostkom, choć ma tylko 2 kratki.
Tak samo odcinek między kreskami może odpowiadać 10, 20 albo 100 jednostkom. Zawsze najpierw sprawdź, jaką wartość ma jeden odstęp, a dopiero potem licz kreski.
Kliknij na osi kreskę, przy której leży liczba 7
Przykłady z rozwiązaniem krok po kroku
Jakim liczbom odpowiadają zaznaczone punkty?
Na osi liczbowej zaznaczono punkty A, B i C. Jakim liczbom odpowiadają?
- 1
Znajdź dwie podpisane liczby i policz odstępy między nimi. Od 0 do 100 jest 5 odstępów.
- 2
Podziel, żeby dowiedzieć się, jaką wartość ma jeden odstęp:
- 3
Punkt A leży 3 odstępy za zerem:
- 4
Punkt B leży 2 odstępy za liczbą 100. Opłaca się liczyć od najbliższej podpisanej kreski, a nie od zera:
- 5
Punkt C też najwygodniej liczyć od 100 - leży 4 odstępy dalej:
Porównaj liczby
Wstaw między liczby odpowiedni znak: >, < lub =.
- 1 010 i 999
- 45 781 i 45 718
- „trzysta pięć” i 350
- 6 070 i 6 070
- 1
1 010 ma cztery cyfry, a 999 - trzy. Więcej cyfr oznacza większą liczbę:
- 2
45 781 i 45 718 mają po pięć cyfr, więc porównujesz je od lewej:
457814571845 781 > 45 718Cyfry od lewej są równe aż do miejsca dziesiątek: 8 > 1. - 3
„Trzysta pięć” najpierw zapisz cyframi: to 3 setki, 0 dziesiątek i 5 jedności, czyli 305. Teraz porównaj z 350:
305350305 < 350Cyfry od lewej są równe aż do miejsca dziesiątek: 0 < 5. - 4
6 070 i 6 070 mają na wszystkich miejscach te same cyfry, więc są równe:
Narysuj oś liczbową i zaznacz liczby
Narysuj oś liczbową, przyjmij odpowiednią jednostkę i zaznacz na niej liczby 2, 5 i 9. Potem narysuj drugą oś - dla liczb 20, 50 i 80.
- 1
Największa z liczb 2, 5 i 9 to 9. Przyjmij, że odcinek jednostkowy ma 2 kratki. Do 9 potrzebujesz wtedy 18 kratek, czyli 9 centymetrów - zmieści się.
- 2
Zaznacz 0 i 1, odkładaj kolejne odcinki jednostkowe i postaw punkty przy 2, 5 i 9:
- 3
Na drugiej osi największa liczba to 80. Z odcinkiem jednostkowym długości 2 kratek potrzebowałbyś 160 kratek, czyli 80 centymetrów - to za dużo. Przyjmij więc, że 2 kratki odpowiadają 10 jednostkom.
- 4
Kreski stawiasz co 10. Do 80 jest 8 odstępów, czyli 16 kratek - 8 centymetrów:
Gdzie przydają się liczby naturalne i oś liczbowa?
- Linijka i taśma miernicza to kawałki osi liczbowej: zero na początku, równe odstępy i liczby rosnące w jedną stronę. Mierząc coś linijką, odczytujesz liczbę z osi.
- Oś czasu na lekcji historii to oś liczbowa, na której zamiast zwykłych liczb stoją lata. Odległość między dwiema datami to liczba lat, które minęły między nimi.
- W sklepie porównujesz ceny: rower za 1 299 zł jest tańszy niż rower za 1 350 zł, bo 1 299 < 1 350.
- Pieniądze dobrze pokazują, co oznacza każda cyfra: 375 zł to 3 banknoty po 100 zł, 7 banknotów po 10 zł i 5 monet po 1 zł.
- W grach i zawodach porównujesz wyniki: 12 450 punktów to więcej niż 12 405, choć obie liczby zaczynają się tak samo.
- Nie każda cyfra oznacza ilość. W numerze telefonu albo w kodzie PIN cyfry są tylko znakami i nie ma sensu pytać, która oznacza więcej. Tutaj dobrze widać różnicę między cyfrą a liczbą.
Zagadka na koniec
Masz cztery kartoniki z cyframi 3, 0, 7 i 5. Układasz z nich liczby czterocyfrowe, a każdego kartonika używasz dokładnie raz.
Jaką największą, a jaką najmniejszą liczbę możesz ułożyć?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozwiązanie
Największa to 7 530: na miejscu tysięcy, które ma największą wartość, stawiasz największą cyfrę, a za nią kolejne coraz mniejsze. Najmniejsza to 3 057, a nie 0 357! Liczba nie może zaczynać się od zera - 0357 to po prostu 357, czyli liczba trzycyfrowa. Dlatego na początek idzie najmniejsza cyfra różna od zera, czyli 3, a zaraz za nią zero.
Zapamiętaj
Cyfr jest dziesięć, a liczb naturalnych - nieskończenie wiele. To, jaką liczbę oznacza cyfra, zależy od miejsca, na którym stoi. Liczby porównujesz najpierw po liczbie cyfr, a potem cyframi od lewej. Na osi liczbowej większa liczba leży na prawo od mniejszej, a odległość między liczbami to różnica: większa minus mniejsza.
PhiBoard to darmowa tablica online do matematyki
Ta lekcja to jej część. Na samej tablicy narysujesz oś liczbową, wykres funkcji czy figurę, zapiszesz wzór i rozwiążesz zadanie razem z nauczycielem albo kolegą - na żywo, w przeglądarce. Nasza aplikacja jest w całości darmowa.
Sprawdź, czy naprawdę umiesz
Teoria to połowa drogi. Rozwiąż kilka zadań z tego samego materiału - każde z rozwiązaniem krok po kroku, bez konta i bez opłat.
Najczęstsze pytania
Czy zero jest liczbą naturalną?
Tak - w polskiej szkole zero należy do liczb naturalnych, więc liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 i tak dalej. To umowa, a nie odkrycie: w części podręczników na świecie liczby naturalne zaczynają się od 1.
Czym różni się cyfra od liczby?
Cyfra to jeden z dziesięciu znaków: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Liczba to wartość, którą tymi znakami zapisujemy - jedną cyfrą, jak 7, albo kilkoma, jak 305. Cyfry są jak litery, a liczby jak słowa.
Co to jest oś liczbowa?
To prosta, na której liczby stoją po kolei w równych odstępach. Żeby ją narysować, zaznaczasz punkt 0, odcinek jednostkowy (od 0 do 1) i strzałkę, która pokazuje, w którą stronę liczby rosną. Większa liczba leży zawsze na prawo od mniejszej.
Jak porównać dwie liczby wielocyfrowe?
Najpierw policz cyfry: liczba, która ma ich więcej, jest większa. Jeśli cyfr jest tyle samo, porównuj je od lewej - rozstrzyga pierwsza cyfra, która się różni. Na przykład 4 352 < 4 532, bo tysiące są równe, a na miejscu setek jest 3 i 5.
Jak obliczyć odległość między liczbami na osi liczbowej?
Od większej liczby odejmij mniejszą. Odległość między 3 a 8 wynosi 8 − 3 = 5, czyli pięć odcinków jednostkowych.