Zbiory. Działania na zbiorach

Co to jest zbiór?

Większość pojęć w matematyce definiujemy za pomocą prostszych. Ale od czegoś trzeba zacząć. Pojęcia, których nie definiujemy, nazywamy pierwotnymi - w geometrii są nimi na przykład punkt i prosta.

Zbiór i element zbioru to pojęcia pierwotne: nie definiujemy ich, tylko wyjaśniamy na przykładach.

Zbiór to kolekcja obiektów traktowana jako jedna całość. Obiekty, z których się składa, nazywamy elementami zbioru. Zbiorem są na przykład uczniowie twojej klasy, litery w słowie „matematyka” albo liczby parzyste.

Jest tylko jeden warunek: o każdym obiekcie musi dać się jednoznacznie powiedzieć, czy do zbioru należy, czy nie. „Zbiór liczb parzystych” - w porządku, bo o każdej liczbie wiadomo, czy jest parzysta. „Zbiór trudnych zadań” - już nie, bo zadanie trudne dla jednej osoby dla innej bywa łatwe.

Jak zapisujemy zbiory?

Zbiory oznaczamy wielkimi literami: A, B, C. Elementy zapisujemy małymi literami albo liczbami, a wypisując je, zamykamy w nawiasie klamrowym { }:

Przy wypisywaniu elementów obowiązują dwie zasady. Kolejność nie ma znaczenia, a każdy element liczy się tylko raz, więc wypisujemy go jeden raz. Słowo „matematyka” ma dziesięć liter, ale zbiór jego liter ma tylko sześć elementów: m, a, t, e, y, k.

Co oznaczają znaki ∈ i ∉?

To, że element należy do zbioru, zapisujemy znakiem ∈, a to, że nie należy - znakiem ∉. Dla zbioru B = {1, 2, 3, 4}:

Pierwszy zapis czytamy „2 należy do zbioru B” albo „2 jest elementem zbioru B”, a drugi - „7 nie należy do zbioru B”.

Po lewej stronie znaku ∈ zawsze stoi element, a po prawej - zbiór.

Jakie są najważniejsze zbiory liczbowe?

Niektóre zbiory liczb pojawiają się tak często, że mają własne oznaczenia - litery z podwójną kreską:

• ℕ - liczby naturalne: 0, 1, 2, 3, … W polskiej szkole zero należy do liczb naturalnych;
• ℤ - liczby całkowite: …, −2, −1, 0, 1, 2, …, czyli liczby naturalne i liczby do nich przeciwne;
• ℚ - liczby wymierne, czyli takie, które da się zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0. Wymierne są na przykład 1/2, −3 = −3/1 i 0,75 = 3/4;
• liczby niewymierne - liczby rzeczywiste, których nie da się zapisać w postaci takiego ułamka, np. √2 i π. Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe;
• ℝ - liczby rzeczywiste, czyli wymierne i niewymierne razem. To wszystkie liczby, którym odpowiadają punkty na osi liczbowej.

Skąd takie litery? ℕ i ℝ to pierwsze litery angielskich nazw natural i real. ℤ pochodzi od niemieckiego słowa Zahlen, czyli „liczby”, a ℚ - od słowa quotient, czyli „iloraz”: liczba wymierna to iloraz dwóch liczb całkowitych.

Dzięki tym oznaczeniom zapisy robią się bardzo krótkie:

Jak można opisać zbiór?

Ten sam zbiór da się opisać na kilka sposobów. Weźmy zbiór dodatnich liczb parzystych mniejszych od 10. Można go:

• opisać słowami - tak jak przed chwilą;
• wypisać jego elementy w nawiasie klamrowym;
• podać warunek, który spełniają jego elementy - o tym za chwilę;
• narysować, wpisując elementy w koło.

Wypisywanie elementów sprawdza się, gdy jest ich niewiele. Zbiór nieskończony też można tak zapisać, jeśli widać, jak elementy biegną dalej: ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. Gdy elementów jest bardzo dużo albo nie da się ich ustawić po kolei, podajemy warunek.

Jak czytać opis zbioru warunkiem?

Zapis {x ∈ ℤ : −2 ≤ x < 3} czytamy: „zbiór tych liczb całkowitych x, dla których −2 ≤ x < 3”. Przed dwukropkiem stoi, skąd bierzemy elementy, a po nim - warunek, który muszą spełniać. Zamiast dwukropka można postawić pionową kreskę: {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3}.

Liczba −2 należy do tego zbioru, bo nierówność −2 ≤ x dopuszcza równość. Liczba 3 już nie, bo nierówność x < 3 jest ostra. Przy każdym takim zapisie sprawdzaj dwie rzeczy: z jakiego zbioru bierzesz x i czy nierówność jest ostra.

Uwaga na zero

W polskiej szkole 0 jest liczbą naturalną - i właśnie o nim najłatwiej zapomnieć:

$\{x \in \mathbb{N} : x < 3\} = \{1, 2\}$niepoprawnie

$\{x \in \mathbb{N} : x < 3\} = \{0, 1, 2\}$poprawnie

Kiedy zbiór jest skończony, a kiedy pusty?

Zbiór jest skończony, gdy jego elementy da się policzyć - liczba elementów jest jakąś liczbą naturalną. Zbiór P = {2, 4, 6, 8} ma cztery elementy. Zbiór jest nieskończony, gdy elementów jest nieskończenie wiele. Tak jest ze zbiorami ℕ, ℤ, ℚ i ℝ, ale też na przykład ze zbiorem liczb parzystych.

Zbiór, który nie ma żadnego elementu, nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy ∅.

Pusty jest na przykład zbiór liczb naturalnych mniejszych od zera i zbiór liczb rzeczywistych, których kwadrat jest ujemny. To dwa opisy tego samego zbioru - zbiór pusty jest tylko jeden. Jest on też zbiorem skończonym: ma 0 elementów.

Zbiór pusty to nie {0}

Zbiór {0} nie jest pusty - ma jeden element, liczbę zero. Zbiór pusty nie ma żadnego:

$\{0\} = \emptyset$niepoprawnie

$\{0\} \neq \emptyset$poprawnie

Kiedy dwa zbiory są równe?

Zbiory A i B są równe, gdy mają dokładnie te same elementy: każdy element zbioru A należy do B i każdy element zbioru B należy do A. Zapisujemy wtedy A = B.

Liczy się tylko to, co do zbioru należy - nie kolejność elementów i nie sposób zapisu. Zbiór rozwiązań równania x² = 4 i zbiór {−2, 2} to ten sam zbiór, choć opisany zupełnie inaczej. Tak samo tutaj:

Żeby zbiory nie były równe, wystarczy jeden element, który należy do jednego z nich, a do drugiego nie. Tutaj jest nim liczba 3:

Co to jest podzbiór?

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, gdy każdy element zbioru A jest też elementem zbioru B. Mówimy wtedy, że A jest podzbiorem B, i piszemy A ⊂ B.

Jeśli choć jeden element A nie należy do B, to A nie jest podzbiorem B. Piszemy wtedy A ⊄ B. Na przykład zbiór {2, 5} nie zawiera się w {1, 2, 3, 4}, bo 5 nie należy do drugiego zbioru:

Dwie rzeczy, które zaskakują

• Każdy zbiór jest swoim podzbiorem: A ⊂ A, bo każdy element zbioru A oczywiście należy do A.
• Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru: ∅ ⊂ A. W zbiorze pustym nie ma żadnego elementu - nie ma więc też takiego, który nie należałby do A.

W polskich podręcznikach znak ⊂ dopuszcza równość zbiorów, dlatego A ⊂ A jest prawdą. W części książek, zwłaszcza zagranicznych, zawieranie zapisuje się znakiem ⊆, a znak ⊂ oznacza wtedy podzbiór, który nie jest całym zbiorem.

Zawieranie przydaje się do sprawdzania równości: A = B dokładnie wtedy, gdy A ⊂ B i B ⊂ A. Tak w praktyce dowodzi się, że dwa zbiory są równe.

Zbiory liczbowe zawierają się jeden w drugim: każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita - wymierna, a każda wymierna - rzeczywista.

Najczęstszy błąd: ∈ zamiast ⊂

Znak ∈ łączy element ze zbiorem, a znak ⊂ - zbiór ze zbiorem. Liczba 2 jest elementem, a {2} to zbiór, który ma jeden element:

$2 \in \{1, 2, 3\}$poprawnie

$\{2\} \subset \{1, 2, 3\}$poprawnie

$2 \subset \{1, 2, 3\}$niepoprawnie

$\{2\} \in \{1, 2, 3\}$niepoprawnie

Co to jest przestrzeń U?

W każdym zadaniu wiadomo, o jakich obiektach w ogóle jest mowa: o liczbach od 1 do 8, o uczniach jednej klasy albo o wszystkich liczbach rzeczywistych. Zbiór wszystkich elementów, które w danej sytuacji rozważamy, nazywamy przestrzenią i oznaczamy literą U.

Przestrzeń U to zbiór, którego podzbiorami są wszystkie zbiory rozważane w danym zadaniu.

Na diagramie Venna przestrzeń rysujemy jako prostokąt, a zbiory - jako koła w jego środku. Na tych trzech zbiorach pokażemy wszystkie działania:

W rachunku prawdopodobieństwa, który poznasz później, przestrzenią jest zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia. Oznacza się ją literą Ω.

Co to jest suma zbiorów?

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do A lub do B. Oznaczamy ją A ∪ B.

„Lub” w matematyce nie wyklucza obu możliwości naraz: do sumy trafia też element, który należy do obu zbiorów - ale wypisujemy go tylko raz.

Znak ∪ łatwo zapamiętać: przypomina literę U, jak w angielskim słowie union, czyli „połączenie”. Kolejność zbiorów w sumie nie ma znaczenia:

Co to jest różnica zbiorów?

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do A i nie należą do B. Oznaczamy ją A \ B albo A − B.

W różnicy kolejność ma znaczenie! B \ A to elementy B, których nie ma w A - zupełnie inny zbiór:

Różnicą łatwo opisać liczby niewymierne: to liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, czyli zbiór ℝ \ ℚ.

Co to jest część wspólna zbiorów?

Częścią wspólną (iloczynem) zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do A i do B. Oznaczamy ją A ∩ B.

Tu kolejność znowu nie gra roli:

Kiedy zbiory są rozłączne?

Zbiory, które nie mają ani jednego wspólnego elementu, nazywamy rozłącznymi. Ich część wspólna jest zbiorem pustym.

Rozłączne są też na przykład zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych: żadna liczba całkowita nie jest naraz parzysta i nieparzysta.

Co to jest dopełnienie zbioru?

Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni, które nie należą do A. Oznaczamy je A′. To nic innego jak różnica U \ A.

Dopełnienie zależy od przestrzeni. Gdy przestrzenią jest ℤ, dopełnieniem zbioru ℕ są liczby całkowite ujemne: …, −3, −2, −1. Gdyby przestrzenią był sam zbiór ℕ, dopełnienie ℕ byłoby zbiorem pustym.

Kilka własności dopełnienia widać od razu na rysunku:

Zbiory C i D z poprzedniej części dopełniają się nawzajem: w przestrzeni U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} wszystko, co nie należy do C, należy do D.

Czas na trening. W każdej rundzie zamaluj na diagramie zbiór opisany wzorem - klikaj obszary, które do niego należą.

Przykłady z rozwiązaniem krok po kroku

Gdzie przydają się zbiory?

• Filtry w sklepie internetowym to działania na zbiorach. Zaznaczasz „rozmiar M” i „kolor czarny”, a sklep pokazuje część wspólną: rzeczy, które są naraz w rozmiarze M i czarne. Gdy zaznaczysz dwa kolory, zwykle dostajesz sumę: rzeczy czarne lub granatowe.
• Wyszukiwarka internetowa zna różnicę zbiorów. Po wpisaniu jaguar -samochód Google pokazuje strony ze słowem „jaguar”, ale bez słowa „samochód”.
• Umawiając się ze znajomymi, szukasz części wspólnej: dni, w które wolny jest każdy z was.
• Osoba z alergią na gluten i orzechy szuka produktów spoza zbioru „zawiera gluten” i jednocześnie spoza zbioru „zawiera orzechy” - czyli części wspólnej dwóch dopełnień.
• W rachunku prawdopodobieństwa zdarzenia są zbiorami: „A lub B” to suma zdarzeń, „A i B” - ich część wspólna, a zdarzenie przeciwne do A to dopełnienie A′. Te oznaczenia pojawiają się w zadaniach maturalnych.
• Programiści używają zbiorów na co dzień. W Pythonie typ set ma działania | (suma), & (część wspólna) i - (różnica) - te same, które znasz już z tej lekcji.

Zagadka na koniec

Zapamiętaj

Zbiór to pojęcie pierwotne. Element należy do zbioru (∈) albo do niego nie należy (∉), a zbiór może zawierać się w innym zbiorze (⊂). Zbiory są równe, gdy mają te same elementy. Suma A ∪ B to elementy z A lub z B, część wspólna A ∩ B - elementy z obu naraz, różnica A \ B - elementy z A, których nie ma w B, a dopełnienie A′ - elementy przestrzeni U spoza A. Zbiory rozłączne nie mają wspólnych elementów, a zbiór n-elementowy ma 2ⁿ podzbiorów.