Zbiory liczbowe. Oś liczbowa

Co da się policzyć w zbiorze liczb naturalnych?

Liczby naturalne to liczby, którymi liczysz przedmioty. W polskiej szkole zero też do nich należy:

Gdy dodajesz albo mnożysz dwie liczby naturalne, wynik zawsze jest liczbą naturalną. Mówimy, że dodawanie i mnożenie są w zbiorze ℕ wykonalne. Z odejmowaniem i dzieleniem jest inaczej - wystarczy jeden przykład, w którym wynik wypada poza ℕ:

Działanie jest wykonalne w zbiorze, gdy jego wynik dla dowolnych liczb z tego zbioru też do niego należy. Przy dzieleniu pomijamy dzielenie przez zero - ono nie jest wykonalne nigdzie.

Na kolejne zbiory liczbowe możesz patrzeć właśnie tak: każdy następny rozszerza poprzedni o liczby, bez których któregoś działania nie dało się zawsze wykonać.

Z czego składa się zbiór liczb całkowitych?

Liczby całkowite to liczby naturalne i liczby do nich przeciwne:

• liczby całkowite ujemne: −1, −2, −3 i tak dalej;
• zero - nie jest ani dodatnie, ani ujemne;
• liczby całkowite dodatnie: 1, 2, 3 i tak dalej.

Liczby całkowite ujemne i liczby całkowite dodatnie to dwa podzbiory ℤ. Nie mają wspólnych elementów, a razem z zerem dają cały zbiór ℤ. Liczby naturalne to zero razem z liczbami całkowitymi dodatnimi.

W zbiorze ℤ zawsze wykonalne są dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Dzielenie - nie zawsze: 8 : 2 = 4 jest liczbą całkowitą, ale 7 : 2 = 3,5 już nie.

Co to jest liczba wymierna?

Liczba wymierna to liczba, którą da się zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi i q ≠ 0. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy ℚ.

W ułamku p/q liczba p to licznik, a q - mianownik. Mianownik mówi, na ile równych części dzielimy całość, a licznik - ile takich części bierzemy. Mianownik nie może być zerem, bo przez zero nie dzielimy.

Wymierne są nie tylko „zwykłe” ułamki. Każda liczba całkowita też jest wymierna, bo można ją zapisać z mianownikiem 1. Wymierne są też ułamki dziesiętne i liczby mieszane:

Ta sama liczba ma wiele zapisów ułamkiem: 3/4 = 6/8 = 75/100. Ułamek, którego nie da się już skrócić, nazywamy nieskracalnym.

W zbiorze ℚ wykonalne są wszystkie cztery działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero). Suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch ułamków to znowu ułamek.

Jakie rozwinięcia dziesiętne mają liczby wymierne?

Rozwinięcie dziesiętne ułamka dostajesz, dzieląc licznik przez mianownik. Czasem dzielenie się kończy - wtedy rozwinięcie jest skończone:

Czasem dzielenie nigdy się nie kończy, ale cyfry zaczynają się powtarzać. Taki powtarzający się fragment nazywamy okresem i zapisujemy w nawiasie. Rozwinięcie jest wtedy nieskończone okresowe:

W 5/6 = 0,8333… okresem jest 3, a ósemka stoi przed okresem. W 2/7 okres ma aż sześć cyfr: 285714.

Dlaczego okres musi się pojawić?

Przy dzieleniu przez q reszty mogą być tylko liczbami 0, 1, 2, …, q − 1. Jeśli reszta zero się nie pojawi, to po najwyżej q krokach któraś reszta musi się powtórzyć - a od tego miejsca dzielenie idzie dokładnie tak samo jak wcześniej i cyfry zaczynają się powtarzać. Dlatego przy 2/7 okres nie może być dłuższy niż 6 cyfr.

Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone albo nieskończone okresowe. I odwrotnie: każde takie rozwinięcie to liczba wymierna.

Jak bez dzielenia poznać, czy rozwinięcie będzie skończone?

Skróć ułamek i rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Rozwinięcie jest skończone dokładnie wtedy, gdy w rozkładzie nie ma innych czynników niż 2 i 5. Tak jest, bo tylko z dwójek i piątek składa się 10, 100, 1000 i każda następna potęga dziesiątki - więc tylko taki mianownik da się rozszerzyć do jednej z nich.

Najpierw zawsze skracaj. W 12 jest trójka, a mimo to 9/12 ma rozwinięcie skończone: 9/12 = 3/4 = 0,75. Trójka zniknęła przy skracaniu.

Jak zamienić rozwinięcie dziesiętne na ułamek zwykły?

Rozwinięcie skończone zapisujesz jako ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 - tyle zer, ile cyfr po przecinku - a potem skracasz:

Przy rozwinięciu okresowym działa sztuczka z przesunięciem przecinka. Oznacz liczbę literą x i pomnóż ją przez 10, 100 albo 1000 - tak, żeby okres przesunął się dokładnie o swoją długość. Po odjęciu obu równości nieskończone ogony są identyczne i się redukują:

1. 1
   $x = 0{,}(27)$oznaczamy liczbę literą
2. 2
   $100x = 27{,}(27)$okres ma 2 cyfry, więc mnożymy przez 100
3. 3
   $100x - x = 27$odejmujemy - ogony po przecinku się redukują
4. 4
   $99x = 27$porządkujemy lewą stronę

Co to są liczby niewymierne?

Liczba niewymierna to liczba rzeczywista, której nie da się zapisać w postaci ułamka p/q z całkowitymi p i q. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe - cyfry nigdy nie zaczynają się powtarzać w stałym rytmie.

Liczba π to stosunek obwodu okręgu do jego średnicy - taki sam dla każdego okręgu. √2 to liczba, która podniesiona do kwadratu daje 2; tyle wynosi przekątna kwadratu o boku 1. A √3/2 to na przykład wysokość trójkąta równobocznego o boku 1.

Skąd wiadomo, że √2 jest niewymierny?

Załóżmy, że jednak √2 = p/q, gdzie ułamek jest nieskracalny. Podnosząc do kwadratu, dostajemy p² = 2q², więc p² jest parzyste - a wtedy i p jest parzyste (kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty). Zapiszmy p = 2k. Wtedy 4k² = 2q², czyli q² = 2k², więc parzyste jest też q. Skoro p i q są parzyste, ułamek p/q da się skrócić przez 2 - a miał być nieskracalny. Założenie prowadzi do sprzeczności, więc √2 nie jest liczbą wymierną.

Tak samo dowodzi się, że √3 jest niewymierny. A skoro √3 jest niewymierny, to √3/2 też: gdyby √3/2 był ułamkiem, to √3 = 2 · √3/2 też byłby ułamkiem.

Uwaga - nie każdy pierwiastek jest niewymierny. √9 = 3 i √(4/9) = 2/3 to liczby wymierne. Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy ta liczba jest kwadratem liczby naturalnej. A popularne 22/7 to tylko przybliżenie π, a nie π: 22/7 ma rozwinięcie okresowe.

Jak zbiory liczbowe zawierają się jeden w drugim?

Liczby wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych ℝ. Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita - wymierna, a każda wymierna - rzeczywista. Liczby niewymierne to różnica ℝ \ ℚ: rzeczywiste, które nie są wymierne.

Co to jest wartość bezwzględna liczby?

Wartość bezwzględna liczby a to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją |a|. Liczby 5 i −5 leżą po dwóch stronach zera, ale obie w odległości 5:

Rachunkowo: wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, a liczby ujemnej - liczba do niej przeciwna:

Minus przed a nie oznacza tu liczby ujemnej, tylko liczbę przeciwną. Dla a = −5 mamy −a = −(−5) = 5. Dlatego wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

Odległość między dwiema liczbami

Odległość między liczbami a i b na osi to |a − b|. Kolejność nie ma znaczenia, bo |a − b| = |b − a|. Na przykład −2 i 3 dzieli 5 jednostek:

Jak oś liczbowa pokazuje zbiór liczb rzeczywistych?

Oś liczbowa to prosta z wybranym punktem 0, odcinkiem jednostkowym i zwrotem. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada na niej dokładnie jeden punkt, a każdemu punktowi - dokładnie jedna liczba rzeczywista. Większa liczba leży zawsze na prawo od mniejszej.

Liczby wymierne leżą na osi bardzo gęsto: między każdymi dwiema jest nieskończenie wiele innych. Na przykład w połowie drogi między a i b leży ich średnia (a + b)/2, a jeśli a i b są wymierne, to ona też. Mimo to wymierne nie wypełniają osi. Zostają w niej punkty niewymierne - na przykład √2. Można go zaznaczyć dokładnie: narysuj kwadrat o boku 1 na odcinku od 0 do 1 i przenieś cyrklem jego przekątną na oś.

Przykłady z rozwiązaniem krok po kroku

Gdzie przydaje się ta wiedza w życiu codziennym?

Wartość bezwzględna

• Zmiana temperatury. Rano było −7 °C, po południu 5 °C. Temperatura zmieniła się o |5 − (−7)| = 12 stopni - wartość bezwzględna mówi, o ile, bez względu na kierunek.
• Tolerancja wymiarów. Na rysunku technicznym „50 mm ± 0,2 mm” oznacza, że wymiar x części jest dobry, gdy |x − 50| ≤ 0,2 - odchyłka w żadną stronę nie przekracza 0,2 mm.
• Piętra w budynku. Z parkingu na poziomie −2 na 5. piętro windą przejedziesz |5 − (−2)| = 7 kondygnacji.

Zamiana ułamków zwykłych i dziesiętnych

• W kuchni przepis podaje 3/4 szklanki, a miarka ma podziałkę dziesiętną - to 0,75.
• W sklepie „jedna piąta taniej” to zniżka o 1/5 = 0,2, czyli o 20%.
• Przy dzieleniu rachunku 100 zł na trzy osoby wychodzi 33,(3) zł. Groszy nie da się podzielić w nieskończoność, więc płacicie po 33,33 zł - to 99,99 zł i zostaje jeszcze grosz. Okres mówi od razu, że równo się nie da.

Porównywanie liczb niewymiernych

• Czy deska długości 4,5 m zmieści się płasko na podłodze kwadratowego pokoju 3 m na 3 m, jeśli położysz ją po przekątnej? Przekątna ma 3√2 m. Porównaj kwadraty: (3√2)² = 18, a 4,5² = 20,25. Przekątna jest krótsza od deski - nie zmieści się.
• Formaty papieru A są pomyślane tak, żeby dłuższy bok był √2 razy dłuższy od krótszego - wtedy kartka złożona na pół ma te same proporcje. Kartka A4 ma 297 mm na 210 mm. Czy 297 : 210 to dokładnie √2? Porównaj kwadraty: 297² = 88 209, a 2 · 210² = 88 200. Wyszło odrobinę więcej, więc stosunek jest minimalnie większy od √2 - bo wymiary zaokrąglono do pełnych milimetrów.

Zagadka na koniec

Zapamiętaj

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. W ℕ zawsze wykonalne są dodawanie i mnożenie, w ℤ - także odejmowanie, a w ℚ - wszystkie cztery działania (bez dzielenia przez zero). Liczba wymierna to ułamek p/q z całkowitymi p i q, q ≠ 0; jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo okresowe, a skończone jest dokładnie wtedy, gdy mianownik nieskracalnego ułamka nie ma w rozkładzie innych czynników pierwszych niż 2 i 5. Liczby niewymierne, jak π, √2 i √3/2, mają rozwinięcie nieskończone nieokresowe. |a| to odległość a od zera na osi, a |a − b| - odległość między a i b.