Od zera do inżyniera

Algebra: prawa działań, redukcja wyrazów i opuszczanie nawiasów

Zapis literowy zamiast liczb, nazwy działań, prawa przemienności, łączności i rozdzielności wraz z kontrprzykładami oraz podstawowe przekształcenia: redukcja wyrazów podobnych, wyłączanie wspólnego czynnika i opuszczanie nawiasów.

Algebra zaczyna się w miejscu, w którym zamiast konkretnej liczby piszemy literę. Reguły zostają te same, co w arytmetyce - zmienia się tylko to, że działają dla każdej liczby naraz. Ta lekcja porządkuje trzy prawa, na których opiera się cała reszta: przemienność, łączność i rozdzielność. Równie ważne jest to, czego one nie mówią: odejmowanie i dzielenie nie są ani przemienne, ani łączne, a dzielenie jest rozdzielne tylko z jednej strony.

Algebra

a + a + a + a = 4a \quad (4 \cdot a)

3a - a = 2a

8a : a = 8

a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^{5}

a + b

suma a i b

a - b

różnica a i b

ab

iloczyn a i b

\displaystyle a : b, \quad a/b, \quad \frac{a}{b}

iloraz a i b, przy czym b ≠ 0

Prawa działań

1) Przemienność

x + y = y + x

xy = yx

Dodawanie i mnożenie są działaniami przemiennymi.

x - y \neq y - x

x : y \neq y : x

\displaystyle \frac{x}{y} \neq \frac{y}{x}

Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami przemiennymi.

2) Łączność

x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z

x(yz) = (xy)z = xyz

Dodawanie i mnożenie są działaniami łącznymi.

x - (y - z) \neq (x - y) - z

x : (y : z) \neq (x : y) : z

Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami łącznymi.

3) Rozdzielność

x(y + z) = xy + xz

(x + y)z = xz + yz

x(y - z) = xy - xz

(x - y)z = xz - yz

Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania - zarówno z lewej, jak i z prawej strony.

(x + y) : z = x : z + y : z

x : (y + z) \neq x : y + x : z

\displaystyle \frac{x + y}{z} = \frac{x}{z} + \frac{y}{z}

\displaystyle \frac{x}{y + z} \neq \frac{x}{y} + \frac{x}{z}

Dzielenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania, ale tylko z prawej strony.

Redukcja wyrazów podobnych

4x + 3y - 2z + 5y - 3x + 4z = x + 8y + 2z

4uv - 7uz - 6wz + 2uv + 3wz = 6uv - 7uz - 3wz

Wyłączanie wspólnego czynnika

9st - 3sv - 6sw = 3s(3t - v - 2w)

Opuszczanie nawiasów

\begin{aligned}\frac{y + x}{8x} - \frac{y - x}{4x} &= \frac{y}{8x} + \frac{x}{8x} - \frac{y}{4x} + \frac{x}{4x} \\&= \frac{y}{8x} + \frac{1}{8} - \frac{y}{4x} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{y}{8x}\end{aligned}

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{2}{8}

\displaystyle \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}

\displaystyle \frac{y}{4x} = \frac{2y}{8x}

\displaystyle \frac{y}{8x} - \frac{2y}{8x} = -\frac{y}{8x}

\begin{aligned}4[2x + 3[5 - 2(x - y)]] &= 4[2x + 3[5 - 2x + 2y]] \\&= 4[2x + 15 - 6x + 6y] \\&= 8x + 60 - 24x + 24y \\&= -16x + 24y + 60\end{aligned}

Najczęstsze pytania

Co znaczy, że działanie jest przemienne?

Że kolejność liczb nie zmienia wyniku: x + y = y + x oraz xy = yx. Odejmowanie przemienne nie jest - dla 3 i 5 wychodzi raz −2, a raz 2.

Dlaczego dzielenie jest rozdzielne tylko z prawej strony?

Bo dzielenie sumy przez liczbę można rozbić na składniki: (x + y) : z = x : z + y : z. Odwrotnie już nie: x : (y + z) to nie to samo co x : y + x : z - dla 3, 5 i 7 wychodzi 0,25 zamiast około 1,03.

Czym są wyrazy podobne?

Wyrazy z tym samym zestawem liter, na przykład 4uv i 2uv. Tylko takie wolno dodać albo odjąć - dodajemy wtedy same współczynniki, a litery zostają bez zmian.

Jak opuszczać nawiasy zagnieżdżone w sobie?

Od środka na zewnątrz. W wyrażeniu 4[2x + 3[5 − 2(x − y)]] najpierw mnożymy przez −2 nawias najbardziej wewnętrzny, potem przez 3, a na końcu przez 4. Wynik to −16x + 24y + 60.

← Poprzednia

Arytmetyka - zadania powtórkowe III

Następna →

Algebra: zadania powtórkowe i prawa działań na potęgach