Od zera do inżyniera

Algebra: zadania powtórkowe i prawa działań na potęgach

Redukcja wyrazów podobnych, wyłączanie wspólnego czynnika, mnożenie wyrażeń i ich rozkład, a następnie dziewięć praw działań na potęgach wraz z przykładami na potęgach ułamkowych i pierwiastkach.

Pierwsza część lekcji to ćwiczenia na tym, co dała poprzednia: łączenie wyrazów podobnych i wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias. Warto zauważyć, że to samo wyrażenie da się rozłożyć na kilka sposobów - każdy jest poprawny, bo po wymnożeniu wraca ten sam zapis. Druga część wprowadza potęgi: nazwy części zapisu i dziewięć praw, z których wynika cała reszta, łącznie z pierwiastkami zapisanymi jako potęgi ułamkowe.

Algebra - zadania powtórkowe

Uprość wyrażenia, redukując wyrazy podobne.

\text{a)}\quad 4xy + 3xz - 6zy - 5zx + yx = 5xy - 2zx - 6zy

\text{b)}\quad -2a + 4ab + a - 4ba = -a

\text{c)}\quad 3rst - 10str + 8ts - 5rt + 2st = -7rst + 10st - 5rt

\text{d)}\quad 2pq - 4pr + qr - 2rq + 3qp = 5pq - 4pr - qr

\text{e)}\quad 5lmn - 6ml + 7lm + 8mnl - 4ln = 13lmn + lm - 4ln

Uprość wyrażenia, redukując wyrazy podobne i wyłączając wspólny czynnik.

\begin{aligned}\text{a)}\quad 4xy + 3xz - 6zy - 5zx + yx &= 5xy - 2zx - 6zy = x(5y - 2z) - 6zy = \\&= 5xy - z(2x + 6y) = y(5x - 6z) - 2zx\end{aligned}

\begin{aligned}\text{b)}\quad 3rst - 10str + 8ts - 5rt + 2st &= -7rst + 10st - 5rt = t(-7rs + 10s - 5r) = \\&= st(-7r + 10) - 5rt = rt(-7s - 5) + 10st\end{aligned}

\begin{aligned}\text{c)}\quad 2pq - 4pr + qr - 2rq + 3qp &= 5pq - 4pr - qr = p(5q - 4r) - qr = \\&= 5pq - r(4p + q) = q(5p - r) - 4pr\end{aligned}

\begin{aligned}\text{d)}\quad 5lmn - 6ml + 7lm + 8mnl - 4ln &= 13lmn + lm - 4ln = l(13mn + m - 4n) = \\&= lm(13n + 1) - 4ln = ln(13m - 4) + lm\end{aligned}

Wykonaj mnożenie, a potem rozłóż wyrażenie na czynniki, jeśli to możliwe.

\begin{aligned}\text{a)}\quad 8x(y - z) + 2y(7x + z) &= 8xy - 8xz + 14xy + 2yz = 22xy - 8xz + 2yz = \\&= 2[x(11y - 4z) + yz]\end{aligned}

\begin{aligned}\text{b)}\quad (3a - b)(b - 3a) + b^{2} &= 3ab - 9a^{2} - b^{2} + 3ab + b^{2} = 6ab - 9a^{2} = \\&= 3a(2b - 3a)\end{aligned}

\begin{aligned}\text{c)}\quad -3\{w - 7[x - 8(3 - z)]\} &= -3\{w - 7[x - 24 + 8z]\} = \\&= -3\{w - 7x + 168 - 56z\} = \\&= -3w + 21x - 504 + 168z\end{aligned}

\begin{aligned}\text{d)}\quad \frac{2a - 3}{4b} + \frac{3a + 2}{6b} &= \frac{6a - 9 + 6a + 4}{12b} = \frac{12a - 5}{12b} = \\&= \frac{a}{b} - \frac{5}{12b} = \frac{1}{12b}(12a - 5)\end{aligned}

Potęgi

5a^{3}

5 to współczynnik, a to podstawa, a 3 to wykładnik potęgi.

Prawa działań na potęgach

\text{1)}\quad a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}

\text{2)}\quad a^{m} : a^{n} = a^{m-n}

\text{3)}\quad (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

\text{4)}\quad a^{0} = 1

\displaystyle \text{5)}\quad a^{-m} = \frac{1}{a^{m}}

\displaystyle \text{6)}\quad a^{\tfrac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}

\text{7)}\quad a^{\tfrac{n}{m}} = \left(\sqrt[m]{a}\right)^{n} = \sqrt[m]{a^{n}}

\text{8)}\quad (ab)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

\displaystyle \text{9)}\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Przykłady

\begin{aligned}\frac{6x^{-4} \cdot 2x^{3}}{8x^{-3}} &= \frac{6 \cdot 2x^{-4+3}}{8x^{-3}} = \frac{12x^{-1}}{8x^{-3}} = \frac{12}{8}x^{-1-(-3)} = \\&= \frac{3}{2}x^{-1+3} = \frac{3}{2}x^{2}\end{aligned}

\begin{aligned}E &= \left(5x^{2}y^{-\tfrac{3}{2}}z^{\tfrac{1}{4}}\right)^{2} \cdot \left(4x^{4}y^{2}z\right)^{-\tfrac{1}{2}} = \\&= 25x^{2 \cdot 2}y^{-\tfrac{3}{2} \cdot 2}z^{\tfrac{1}{4} \cdot 2} \cdot 4^{-\tfrac{1}{2}}x^{4 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)}y^{2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)}z^{-\tfrac{1}{2}} = \\&= 25x^{4}y^{-3}z^{\tfrac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}x^{-2}y^{-1}z^{-\tfrac{1}{2}} = \\&= \frac{25}{2}x^{4+(-2)}y^{-3+(-1)}z^{\tfrac{1}{2}+\left(-\tfrac{1}{2}\right)} = \frac{25}{2}x^{2}y^{-4}z^{0} = \frac{25}{2}x^{2}y^{-4} \cdot 1\end{aligned}

E = \frac{25}{2}x^{2}y^{-4} = \frac{25x^{2}}{2y^{4}}

\begin{aligned}F &= \sqrt[3]{a^{6}b^{3}} : \sqrt{\frac{1}{9}a^{4}b^{6}} \cdot \left(4\sqrt{a^{6}b^{2}}\right)^{-\tfrac{1}{2}} = \\&= \left(a^{6}b^{3}\right)^{\tfrac{1}{3}} : \left(\frac{1}{9}a^{4}b^{6}\right)^{\tfrac{1}{2}} \cdot \left[4\left(a^{6}b^{2}\right)^{\tfrac{1}{2}}\right]^{-\tfrac{1}{2}} = \\&= a^{6 \cdot \tfrac{1}{3}}b^{3 \cdot \tfrac{1}{3}} : \frac{1}{3}a^{4 \cdot \tfrac{1}{2}}b^{6 \cdot \tfrac{1}{2}} \cdot \left(4a^{6 \cdot \tfrac{1}{2}}b^{2 \cdot \tfrac{1}{2}}\right)^{-\tfrac{1}{2}} = \\&= a^{2}b : \frac{1}{3}a^{2}b^{3} \cdot \left(4a^{3}b\right)^{-\tfrac{1}{2}} = \\&= 3b^{-2} \cdot \frac{1}{2}a^{3 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right)}b^{-\tfrac{1}{2}} = \frac{3}{2}a^{-\tfrac{3}{2}}b^{-\tfrac{5}{2}} = \\&= \frac{3}{2\sqrt{a^{3}b^{5}}} = \frac{3}{2\sqrt{a^{2} \cdot a \cdot b^{4} \cdot b}} = \frac{3}{2ab^{2}\sqrt{ab}}\end{aligned}

Najczęstsze pytania

Czy wyrażenie można rozłożyć na czynniki tylko na jeden sposób?

Nie. 5xy − 2zx − 6zy da się zapisać jako x(5y − 2z) − 6zy, jako 5xy − z(2x + 6y) albo jako y(5x − 6z) − 2zx. Każdy zapis po wymnożeniu wraca do wyjściowego, więc wszystkie są poprawne.

Jak nazywają się części zapisu 5a³?

5 to współczynnik, a to podstawa potęgi, a 3 to wykładnik. Wykładnik mówi, ile razy podstawa występuje jako czynnik, a współczynnik mnoży całą potęgę.

Jak zapisać pierwiastek jako potęgę?

Pierwiastek stopnia m z liczby a to a do potęgi jednej m-tej, a pierwiastek stopnia m z a do potęgi n to a do potęgi n przez m. Dzięki temu wszystkie prawa działań na potęgach działają też dla pierwiastków.

Ile wynosi liczba podniesiona do potęgi zerowej?

Zawsze 1. Widać to w przykładzie E, gdzie wykładniki przy z sumują się do zera i cały czynnik z znika z wyniku.

← Poprzednia

Algebra: prawa działań, redukcja wyrazów i opuszczanie nawiasów

Następna →

Logarytmy: definicja, prawa działań i zamiana podstawy