Od zera do inżyniera

Logarytmy: definicja, prawa działań i zamiana podstawy

Czym jest logarytm i jak czytać zapis log_a b, osiem praw działań na logarytmach, logarytm dziesiętny i naturalny oraz wzór pozwalający policzyć logarytm o dowolnej podstawie z kalkulatora.

Logarytm to odwrotność potęgowania: pytamy nie o wynik potęgi, lecz o wykładnik. Jeśli b = a do potęgi c, to c jest logarytmem liczby b przy podstawie a. Cała reszta lekcji wynika z tej jednej definicji - prawa działań przenoszą na logarytmy to, co już wiemy o potęgach: mnożenie zamienia się w dodawanie, dzielenie w odejmowanie, a potęgowanie w mnożenie.

Logarytmy

b = a^{c}, \quad a > 0, \quad a \neq 1, \quad b > 0

c = \log_{a} b

c to logarytm liczby b przy podstawie a

a - podstawa logarytmu

b - liczba logarytmowana

c - wynik, czyli wykładnik potęgi

Logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść daną podstawę, żeby otrzymać daną liczbę.

\text{a)}\quad x = \log_{2} 16

2^{x} = 16

x = 4

\text{b)}\quad 4 = \log_{x} 81

x^{4} = 81

x = 3

\text{c)}\quad 2 = \log_{7} x

7^{2} = x

x = 49

Prawa działań na logarytmach

\text{1)}\quad \log_{a}(xy) = \log_{a} x + \log_{a} y

logarytm iloczynu równa się sumie logarytmów

\text{2)}\quad \log_{a}(x : y) = \log_{a} x - \log_{a} y

logarytm ilorazu równa się różnicy logarytmów

\text{3)}\quad \log_{a} x^{n} = n \cdot \log_{a} x

logarytm potęgi równa się wykładnikowi pomnożonemu przez logarytm liczby

\text{4)}\quad \log_{a} 1 = 0

\text{5)}\quad \log_{a} a = 1

\text{6)}\quad \log_{a} a^{x} = x

\text{7)}\quad a^{\log_{a} x} = x

\displaystyle \text{8)}\quad \frac{1}{\log_{b} a} = \log_{a} b

Przykłady

\text{a)}\quad \log_{a}(6{,}788 \cdot 1{,}043) = \log_{a} 6{,}788 + \log_{a} 1{,}043

\text{b)}\quad \log_{a}(19{,}112 : 0{,}054) = \log_{a} 19{,}112 - \log_{a} 0{,}054

\text{c)}\quad \log_{a} 5{,}889^{1{,}2} = 1{,}2 \cdot \log_{a} 5{,}889

\text{d)}\quad \log_{8} 1 = 0

\text{e)}\quad \log_{7} 7 = 1

\text{f)}\quad \log_{3} 27 = 3

\text{g)}\quad 12^{\log_{12} 4} = 4

\displaystyle \text{h)}\quad \frac{1}{\log_{3} 4} = \log_{4} 3

Logarytm dziesiętny i naturalny

Logarytm dziesiętny to logarytm przy podstawie 10, zapisywany krótko jako log a. Logarytm naturalny ma podstawę e i zapisujemy go jako ln a.

Liczba e (liczba Eulera, stała Nepera, podstawa logarytmu naturalnego):

e \approx 2{,}718\,28\ldots

Oblicz wartość logarytmów z dokładnością do trzech miejsc po przecinku (skorzystaj z kalkulatora).

\text{a)}\quad \log 5{,}321 = 0{,}726

\text{b)}\quad \log 0{,}278 = -0{,}556

\text{c)}\quad \log 1 = 0

\text{d)}\quad \log(-1{,}005)

nie da się obliczyć w zbiorze liczb rzeczywistych

\text{e)}\quad \ln 13{,}45 = 2{,}599

\text{f)}\quad \ln 0{,}278 = -1{,}280

\text{g)}\quad \ln 0{,}00001 = -11{,}513

\text{h)}\quad \ln(-0{,}001)

nie da się obliczyć w zbiorze liczb rzeczywistych

Zamiana podstawy logarytmu

\log_{a} x = \log_{a} 10 \cdot \log_{10} x

\text{a)}\quad \log_{2} 3{,}66 = 1{,}872

\log_{2} 10 \cdot \log_{10} 3{,}66 = 3{,}322 \cdot 0{,}563 = 1{,}872

\text{b)}\quad \log_{3{,}4} 0{,}293 = -1{,}003

\log_{3{,}4} 10 \cdot \log_{10} 0{,}293 = 1{,}882 \cdot (-0{,}533) = -1{,}003

\text{c)}\quad \log_{9{,}9} 6{,}35 = 0{,}806

\log_{9{,}9} 10 \cdot \log_{10} 6{,}35 = 1{,}004 \cdot 0{,}803 = 0{,}806

\text{d)}\quad \log_{7{,}34} 7{,}34 = 1

Najczęstsze pytania

Co to jest logarytm?

To wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Zapis log₂ 16 = 4 czytamy: dwójkę trzeba podnieść do czwartej potęgi, żeby dostać 16.

Dlaczego nie da się policzyć logarytmu z liczby ujemnej?

Bo podstawa jest dodatnia, a liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi rzeczywistej pozostaje dodatnia. Nie istnieje więc wykładnik dający wynik ujemny - stąd warunek b > 0 w definicji.

Czym różni się log od ln?

Podstawą. log to logarytm dziesiętny, czyli przy podstawie 10, a ln to logarytm naturalny, przy podstawie e w przybliżeniu równej 2,71828. Oba znajdziesz na kalkulatorze jako osobne klawisze.

Jak policzyć logarytm o podstawie, której nie ma na kalkulatorze?

Wzorem na zamianę podstawy: log_a x = log_a 10 · log₁₀ x. Dla log₂ 3,66 daje to 3,322 · 0,563, czyli 1,872 - a jedyne, czego potrzeba, to klawisz log.

← Poprzednia

Algebra: zadania powtórkowe i prawa działań na potęgach

Następna →

Równania logarytmiczne i przekształcanie wzorów