Od zera do inżyniera

Równania logarytmiczne i przekształcanie wzorów

Upraszczanie wyrażeń z logarytmami, rozwiązywanie równań logarytmicznych, wyznaczanie jednej zmiennej w zależności od drugiej oraz zapisywanie wzorów w postaci logarytmicznej i z powrotem.

Prawa logarytmów z poprzedniej lekcji zamieniają sumę logarytmów w logarytm iloczynu, a różnicę w logarytm ilorazu. Dzięki temu równanie, w którym po obu stronach stoją logarytmy o tej samej podstawie, sprowadza się do zwykłego równania między liczbami pod logarytmem. Ta sama zamiana działa w drugą stronę: wzór z mnożeniem, dzieleniem i potęgami można rozpisać na sumę i różnicę logarytmów, co bywa wygodne w rachunkach technicznych.

Równania logarytmiczne

Uprość wyrażenie.

\begin{aligned}2\log_{a} x - 3\log_{a}(2x) + \log_{a} x^{2} &= \log_{a} x^{2} - \log_{a}(2x)^{3} + \log_{a} x^{2} = \\&= \log_{a} x^{2} - \log_{a} 8x^{3} + \log_{a} x^{2} = \\&= \log_{a} \frac{x^{2}}{8x^{3}} \cdot x^{2} = \log_{a} \frac{x^{4}}{8x^{3}} = \\&= \log_{a} \frac{x}{8} = \log_{a} \frac{1}{8}x\end{aligned}

Rozwiąż równanie ze względu na x.

4\log_{a} \sqrt{x} - \log_{a}(3x) = \log_{a} x^{-2}

\log_{a}\left(x^{\tfrac{1}{2}}\right)^{4} - \log_{a}(3x) = \log_{a} x^{-2}

\log_{a} x^{2} - \log_{a}(3x) = \log_{a} x^{-2}

\displaystyle \frac{x^{2}}{3x} = \frac{1}{x^{2}}

\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{1}{x^{2}}

x^{3} = 3

x = \sqrt[3]{3}

Wyznacz y w zależności od x.

2\log_{a} y - 3\log_{a}(x^{2}) = \log_{a} \sqrt{y} + \log_{a} x

\log_{a} y^{2} - \log_{a}(x^{2})^{3} = \log_{a} \sqrt{y} + \log_{a} x

\log_{a} y^{2} - \log_{a} \sqrt{y} = \log_{a} x + \log_{a} x^{6}

\displaystyle \frac{y^{2}}{\sqrt{y}} = x \cdot x^{6}

\displaystyle \frac{y^{2}}{y^{\tfrac{1}{2}}} = x^{7}

y^{\tfrac{3}{2}} = x^{7}

y = \left(x^{7}\right)^{\tfrac{2}{3}}

y = x^{\tfrac{14}{3}}

y = \sqrt[3]{x^{14}}

Zadania powtórkowe

Uprość wyrażenia.

\text{a)}\quad a^{6} \cdot a^{5} = a^{11}

\text{b)}\quad x^{7} : x^{3} = x^{4}

\text{c)}\quad (w^{2})^{m} : (w^{m})^{3} = w^{2m} : w^{3m} = w^{-m}

\text{d)}\quad s^{3} : t^{-4} \cdot (s^{-3}t^{-2})^{3} = s^{3} : t^{-4} \cdot s^{-9} \cdot t^{-6} = s^{3} \cdot t^{4} \cdot s^{-9} \cdot t^{-6} = s^{-6}t^{-2}

\text{e)}\quad \frac{8x^{-3} \cdot 3x^{2}}{6x^{-4}} = \frac{24x^{-1}}{6x^{-4}} = 4x^{3}

\begin{aligned}\text{f)}\quad (4a^{3}b^{-1}c)^{2} \cdot \left(a^{-2}b^{4}c^{-2}\right)^{\tfrac{1}{2}} : \left[64\left(a^{6}b^{4}c^{2}\right)^{-\tfrac{1}{2}}\right] &= \\&\hspace{-10em} = 16a^{6}b^{-2}c^{2} \cdot a^{-1}b^{2}c^{-1} : \left(64a^{-3}b^{-2}c^{-1}\right) = \\&\hspace{-10em} = \frac{16a^{5}b^{0}c}{64a^{-3}b^{-2}c^{-1}} = \frac{1}{4}a^{8}b^{2}c^{2}\end{aligned}

\begin{aligned}\text{g)}\quad \sqrt[3]{8a^{3}b^{6}} : \sqrt{\frac{1}{25}a^{4}b^{7}} \cdot \left(16\sqrt{a^{4}b^{6}}\right)^{-\tfrac{1}{2}} &= \\&\hspace{-10em} = \left(8a^{3}b^{6}\right)^{\tfrac{1}{3}} : \left(\frac{1}{25}a^{4}b^{7}\right)^{\tfrac{1}{2}} \cdot \left(16a^{2}b^{3}\right)^{-\tfrac{1}{2}} = \\&\hspace{-10em} = 2ab^{2} : \left(\frac{1}{5}a^{2}b^{\tfrac{7}{2}}\right) \cdot \frac{1}{4}a^{-1}b^{-\tfrac{3}{2}} = \\&\hspace{-10em} = 2ab^{2} \cdot 5a^{-2}b^{-\tfrac{7}{2}} \cdot \frac{1}{4}a^{-1}b^{-\tfrac{3}{2}} = \frac{5}{2}a^{-2}b^{-3}\end{aligned}

Zapisz wyrażenia bez logarytmów.

\begin{aligned}\text{a)}\quad \log K &= \log P - \log T + 1{,}3\log V \\\log K &= \log \frac{P}{T} + \log V^{1{,}3} \\\log K &= \log \frac{PV^{1{,}3}}{T} \quad \longrightarrow \quad K = \frac{PV^{1{,}3}}{T}\end{aligned}

\begin{aligned}\text{b)}\quad \ln A &= \ln P + m \\m &= \ln A - \ln P \\m &= \ln \frac{A}{P} \quad \longrightarrow \quad \frac{A}{P} = e^{m} \;/ \cdot P \quad \longrightarrow \quad A = Pe^{m}\end{aligned}

Zapisz R w postaci logarytmicznej.

R = r\sqrt{\frac{f + P}{f - P}}

\begin{aligned}R &= r\frac{\sqrt{f + P}}{\sqrt{f - P}} \quad \longrightarrow \quad \log R = \log\left(r\frac{\sqrt{f + P}}{\sqrt{f - P}}\right) \\\log R &= \log r + \log\sqrt{f + P} - \log\sqrt{f - P}\end{aligned}

Oblicz, korzystając z kalkulatora lub - gdy trzeba - ze wzoru na zamianę podstawy (z dokładnością do trzech miejsc po przecinku).

\text{a)}\quad \log 5{,}324 = 0{,}726

\text{b)}\quad \ln 0{,}0023 = -6{,}075

\text{c)}\quad \log_{4} 1{,}2 = 0{,}132

\log_{4} 10 \cdot \log_{10} 1{,}2 = \frac{\log_{10} 1{,}2}{\log_{10} 4} = \frac{0{,}079}{0{,}602} = 0{,}132

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać równanie, w którym po obu stronach są logarytmy?

Najpierw prawami logarytmów sprowadzamy każdą stronę do jednego logarytmu, a potem porównujemy same liczby pod logarytmem. Z log_a x² − log_a 3x = log_a x⁻² wychodzi x²/3x = 1/x², czyli x³ = 3.

Jak zapisać wzór bez logarytmów?

Składamy prawą stronę w jeden logarytm, a potem opuszczamy logarytm po obu stronach. Z log K = log P − log T + 1,3 log V robi się logarytm ilorazu, w którym licznikiem jest P razy V do potęgi 1,3, a mianownikiem T. Stąd K równa się temu samemu ilorazowi.

Jak pozbyć się logarytmu naturalnego z równania?

Podnosząc liczbę e do potęgi równej obu stronom. Z m = ln(A/P) wynika, że A dzielone przez P równa się e do potęgi m, a po pomnożeniu przez P otrzymujemy A równe P razy e do potęgi m.

Po co zapisywać wzór w postaci logarytmicznej?

Bo mnożenie i dzielenie zamieniają się wtedy w dodawanie i odejmowanie, a pierwiastki i potęgi w mnożenie przez liczbę. Wzór staje się łatwiejszy do policzenia i do przekształcenia względem dowolnej ze zmiennych.

← Poprzednia

Logarytmy: definicja, prawa działań i zamiana podstawy

Następna →

Mnożenie i dzielenie wyrażeń algebraicznych