Od zera do inżyniera

Mnożenie i dzielenie wyrażeń algebraicznych

Mnożenie wielomianów słupkiem z wyrównaniem wyrazów tego samego stopnia i dzielenie wielomianu przez dwumian, krok po kroku, wraz ze sprawdzeniem wyniku mnożeniem.

Wielomiany mnoży się i dzieli tak samo jak liczby wielocyfrowe - słupkiem. Jedyna różnica polega na tym, że zamiast kolumn jedności, dziesiątek i setek mamy kolumny kolejnych potęg x. Dlatego brakującą potęgę zawsze dopisujemy z zerem: bez tego wyrazy przestają stać pod sobą i rachunek się rozjeżdża. Wynik dzielenia można sprawdzić od razu, mnożąc iloraz przez dzielnik.

Mnożenie i dzielenie wyrażeń algebraicznych

Wielomiany mnożymy tak samo jak liczby słupkiem: każdy wyraz dolnego wielomianu mnożymy przez cały górny, a wyniki zapisujemy jeden pod drugim, wyrównując wyrazy tego samego stopnia.

(2x + 5)(x^{2} + 3x + 4) = 2x^{3} + 11x^{2} + 23x + 20

x^{2} + 3x + 4

2x + 5

$2x^{3}$	$+ 6x^{2}$	$+ 8x$
	$5x^{2}$	$+ 15x$	$+ 20$
$2x^{3}$	$+ 11x^{2}$	$+ 23x$	$+ 20$

Brakujące potęgi dopisujemy z zerem - dzięki temu kolumny się nie rozjeżdżają.

(2x + 6)(4x^{3} - 5x - 7) = (2x + 6)(4x^{3} + 0x^{2} - 5x - 7)

4x^{3} + 0x^{2} - 5x - 7

2x + 6

$8x^{4}$	$+ 0x^{3}$	$- 10x^{2}$	$- 14x$
	$24x^{3}$	$+ 0x^{2}$	$- 30x$	$- 42$
$8x^{4}$	$+ 24x^{3}$	$- 10x^{2}$	$- 44x$	$- 42$

(2x + 6)(4x^{3} - 5x - 7) = 8x^{4} + 24x^{3} - 10x^{2} - 44x - 42

(3x - 5)(2x^{3} - 4x^{2} + 8) = (3x - 5)(2x^{3} - 4x^{2} + 0x + 8)

2x^{3} - 4x^{2} + 0x + 8

3x - 5

$6x^{4}$	$- 12x^{3}$	$+ 0x^{2}$	$+ 24x$
	$- 10x^{3}$	$+ 20x^{2}$	$+ 0x$	$- 40$
$6x^{4}$	$- 22x^{3}$	$+ 20x^{2}$	$+ 24x$	$- 40$

(3x - 5)(2x^{3} - 4x^{2} + 8) = 6x^{4} - 22x^{3} + 20x^{2} + 24x - 40

Dzielenie wielomianów

Dzielimy tak jak liczby: bierzemy najwyższy wyraz dzielnej, dzielimy go przez najwyższy wyraz dzielnika, mnożymy wynik przez cały dzielnik i odejmujemy. Powtarzamy, aż zostanie zero. Wynik zawsze można sprawdzić mnożeniem.

(12x^{3} - 2x^{2} - 3x + 28) : (3x + 4) = 4x^{2} - 6x + 7

$12x^{3}$	$+ 16x^{2}$
0	$- 18x^{2}$	$- 3x$
	$- 18x^{2}$	$- 24x$
	0	$21x$	$+ 28$
		$21x$	$+ 28$
			$0$

(3x + 4)(4x^{2} - 6x + 7) = 12x^{3} - 2x^{2} - 3x + 28

(4x^{3} + 0x^{2} + 13x + 33) : (2x + 3) = 2x^{2} - 3x + 11

$4x^{3}$	$+ 6x^{2}$
0	$- 6x^{2}$	$+ 13x$
	$- 6x^{2}$	$- 9x$
	0	$22x$	$+ 33$
		$22x$	$+ 33$
			$0$

(2x + 3)(2x^{2} - 3x + 11) = 4x^{3} + 0x^{2} + 13x + 33

(6x^{3} - 7x^{2} + 0x + 1) : (3x + 1) = 2x^{2} - 3x + 1

$6x^{3}$	$+ 2x^{2}$
0	$- 9x^{2}$	$+ 0x$
	$- 9x^{2}$	$- 3x$
	0	$3x$	$+ 1$
		$3x$	$+ 1$
			$0$

(3x + 1)(2x^{2} - 3x + 1) = 6x^{3} - 7x^{2} + 0x + 1

Zadania powtórkowe

Wykonaj mnożenie i uprość wynik.

\text{a)}\quad (8x - 4)(4x^{2} - 3x + 2)

4x^{2} - 3x + 2

8x - 4

$32x^{3}$	$- 24x^{2}$	$+ 16x$
	$- 16x^{2}$	$+ 12x$	$- 8$
$32x^{3}$	$- 40x^{2}$	$+ 28x$	$- 8$

(8x - 4)(4x^{2} - 3x + 2) = 32x^{3} - 40x^{2} + 28x - 8

\text{b)}\quad (2x + 3)(5x^{3} + 3x - 4) = (2x + 3)(5x^{3} + 0x^{2} + 3x - 4)

5x^{3} + 0x^{2} + 3x - 4

2x + 3

$10x^{4}$	$+ 0x^{3}$	$+ 6x^{2}$	$- 8x$
	$15x^{3}$	$+ 0x^{2}$	$+ 9x$	$- 12$
$10x^{4}$	$+ 15x^{3}$	$+ 6x^{2}$	$+ x$	$- 12$

(2x + 3)(5x^{3} + 3x - 4) = 10x^{4} + 15x^{3} + 6x^{2} + x - 12

Wykonaj dzielenie.

(x^{2} + 5x - 6) : (x - 1) = x + 6

$x^{2}$	$- x$
0	$6x$	$- 6$
	$6x$	$- 6$
		$0$

(x - 1)(x + 6) = x^{2} + 5x - 6

(x^{2} - x - 2) : (x + 1) = x - 2

$x^{2}$	$+ x$
0	$- 2x$	$- 2$
	$- 2x$	$- 2$
		$0$

(x + 1)(x - 2) = x^{2} - x - 2

(12x^{3} - 11x^{2} + 0x - 25) : (3x - 5) = 4x^{2} + 3x + 5

$12x^{3}$	$- 20x^{2}$
0	$9x^{2}$	$+ 0x$
	$9x^{2}$	$- 15x$
	0	$15x$	$- 25$
		$15x$	$- 25$
			$0$

(3x - 5)(4x^{2} + 3x + 5) = 12x^{3} - 11x^{2} + 0x - 25

Najczęstsze pytania

Jak pomnożyć dwa wielomiany?

Każdy wyraz jednego mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a potem redukujemy wyrazy podobne. W słupku robi się to wierszami: najpierw cały górny wielomian razy pierwszy wyraz dolnego, potem razy drugi, a na końcu dodajemy kolumnami.

Po co dopisywać 0x² w wielomianie?

Żeby każda potęga miała swoją kolumnę. W wielomianie 4x³ − 5x − 7 brakuje wyrazu z x², więc zapisujemy go jako 4x³ + 0x² − 5x − 7 i wtedy wyrazy tego samego stopnia stoją dokładnie pod sobą.

Jak podzielić wielomian przez dwumian?

Dzielimy najwyższy wyraz dzielnej przez najwyższy wyraz dzielnika - to pierwszy wyraz ilorazu. Mnożymy go przez cały dzielnik, odejmujemy od dzielnej i powtarzamy z tym, co zostało, aż dojdziemy do zera.

Jak sprawdzić wynik dzielenia?

Mnożąc iloraz przez dzielnik - musi wyjść dzielna. Dla (12x³ − 2x² − 3x + 28) : (3x + 4) = 4x² − 6x + 7 sprawdzamy, że (3x + 4)(4x² − 6x + 7) daje z powrotem 12x³ − 2x² − 3x + 28.

← Poprzednia

Równania logarytmiczne i przekształcanie wzorów

Następna →

Ułamki algebraiczne: dodawanie, mnożenie i dzielenie