Od zera do inżyniera

Ułamki algebraiczne: dodawanie, mnożenie i dzielenie

Cztery działania na ułamkach, w których zamiast liczb stoją litery: wspólny mianownik przy dodawaniu i odejmowaniu, skracanie przy mnożeniu i dzieleniu oraz dzielenie sumy sześcianów przez dwumian.

Ułamek algebraiczny działa dokładnie tak jak zwykły - tylko w liczniku i mianowniku stoją wyrażenia z literami. Żeby dodać dwa takie ułamki, trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika; przy mnożeniu wystarczy pomnożyć liczniki i mianowniki, a dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność. Jedyna nowa ostrożność dotyczy mianownika: nie wolno mu być zerem, więc litery w mianowniku zawsze niosą ze sobą założenie.

Ułamki algebraiczne

Dodawanie i odejmowanie

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

\frac{a}{b} - \frac{c}{d^{2}} + \frac{d}{a} = \frac{aad^{2} - abc + bdd^{2}}{abd^{2}} = \frac{a^{2}d^{2} - abc + bd^{3}}{abd^{2}}

\begin{aligned}\frac{2}{x + 1} + \frac{4}{x + 2} &= \frac{2(x + 2) + 4(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2x + 4 + 4x + 4}{x^{2} + 2x + x + 2} = \\&= \frac{6x + 8}{x^{2} + 3x + 2}\end{aligned}

Mnożenie i dzielenie

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

\frac{2a}{3b} : \frac{a^{2}b}{6} = \frac{2a}{3b} \cdot \frac{6}{a^{2}b} = \frac{12a}{3a^{2}b^{2}} = \frac{4}{ab^{2}}

\frac{2a}{3b} : \frac{a^{2}b}{6} \cdot \frac{ab}{2} = \frac{2a}{3b} \cdot \frac{6}{a^{2}b} \cdot \frac{ab}{2} = \frac{12a^{2}b}{6a^{2}b^{2}} = \frac{2}{b}

Zadania powtórkowe

Wykonaj mnożenie i uprość wynik.

\text{a)}\quad (2a + 4b)(a - 3b) = 2a^{2} - 6ab + 4ab - 12b^{2} = 2a^{2} - 2ab - 12b^{2}

\text{b)}\quad (9s^{2} + 3)(s^{2} - 4) = 9s^{4} - 36s^{2} + 3s^{2} - 12 = 9s^{4} - 33s^{2} - 12

Zapisz każde wyrażenie jako jeden ułamek algebraiczny.

\text{a)}\quad \frac{ab}{c} + \frac{cb}{a} = \frac{a^{2}b + bc^{2}}{ac}

\text{b)}\quad \frac{ab}{c} - 1 = \frac{ab}{c} - \frac{c}{c} = \frac{ab - c}{c}

\begin{aligned}\text{c)}\quad \left(\frac{ab}{c} + \frac{ac}{b}\right) + \frac{bc}{a} &= \frac{ab^{2} + ac^{2}}{bc} + \frac{bc}{a} = \\&= \frac{a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2}}{abc}\end{aligned}

Wykonaj dzielenie.

\frac{a^{3} + 8b^{3}}{a + 2b}

(a^{3} + 8b^{3}) : (a + 2b) = a^{2} - 2ab + 4b^{2}

\begin{array}{rrrr}a^{3} & & & + \, 8b^{3} \\a^{3} & + \, 2a^{2}b & & \\ \hline0 & - \, 2a^{2}b & & \\ & - \, 2a^{2}b & - \, 4ab^{2} & \\ \hline & 0 & + \, 4ab^{2} & + \, 8b^{3} \\ & & 4ab^{2} & + \, 8b^{3} \\ \hline & & & 0\end{array}

(a^{2} - 2ab + 4b^{2})(a + 2b) = a^{3} + 8b^{3}

Najczęstsze pytania

Jak dodać dwa ułamki algebraiczne?

Sprowadzamy je do wspólnego mianownika, czyli mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik. Dla a/b + c/d wspólnym mianownikiem jest bd, a suma wynosi (ad + bc)/bd.

Jak podzielić ułamek przez ułamek?

Mnożąc przez odwrotność drugiego ułamka: a/b : c/d to a/b · d/c, czyli ad/bc. Po pomnożeniu warto jeszcze skrócić wspólne czynniki licznika i mianownika.

Co zrobić z liczbą całkowitą w wyrażeniu z ułamkiem?

Zapisujemy ją jako ułamek o tym samym mianowniku. W ab/c − 1 jedynkę zamieniamy na c/c i całość daje (ab − c)/c.

Ile wynosi a³ + 8b³ podzielone przez a + 2b?

a² − 2ab + 4b². To znany wzór na sumę sześcianów: a³ + 8b³ to a³ + (2b)³, a taka suma zawsze dzieli się przez a + 2b bez reszty.

← Poprzednia

Mnożenie i dzielenie wyrażeń algebraicznych

Następna →

Rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki