Od zera do inżyniera

Rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika, rozkład przez grupowanie, wzory skróconego mnożenia oraz zapisanie trójmianu kwadratowego jako iloczynu dwóch czynników liniowych.

Rozkład na czynniki to odwrotność mnożenia: zamiast wymnażać nawiasy, szukamy ich z powrotem. Robi się to trzema sposobami, które warto rozpoznawać od razu. Jeśli wszystkie wyrazy mają coś wspólnego, wyłączamy to przed nawias. Jeśli nie, ale da się je pogrupować parami, szukamy wspólnego czynnika w każdej parze. A jeśli wyrażenie pasuje do jednego ze wzorów skróconego mnożenia, rozkład jest natychmiastowy.

Rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki

Wspólny czynnik

\text{a)}\quad 8x^{4}y^{3} + 6x^{3}y^{2} = 2x^{3}y^{2}(4xy + 3)

\text{b)}\quad 15a^{3}b - 9a^{2}b^{2} = 3a^{2}b(5a - 3b)

Wspólny czynnik przez grupowanie

\begin{aligned}\text{a)}\quad x^{3} - 4x^{2}y + xy^{2} - 4y^{3} &= x^{2}(x - 4y) + y^{2}(x - 4y) = \\&= (x^{2} + y^{2})(x - 4y)\end{aligned}

\begin{aligned}\text{b)}\quad 20x^{2} - 3y^{2} + 4xy^{2} - 15x &= 20x^{2} - 15x + 4xy^{2} - 3y^{2} = \\&= 5x(4x - 3) + y^{2}(4x - 3) = (5x + y^{2})(4x - 3)\end{aligned}

Wzory skróconego mnożenia

\text{1)}\quad (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

kwadrat sumy

(x + 5)^{2} = x^{2} + 10x + 25

\text{2)}\quad (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

kwadrat różnicy

(2a - 3)^{2} = 4a^{2} - 12a + 9

\text{3)}\quad (a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}

różnica kwadratów

(5x - 4y)(5x + 4y) = 25x^{2} - 16y^{2}

\text{a)}\quad 16x^{2} + 40xy + 25y^{2} = (4x + 5y)^{2}

\text{b)}\quad 9x^{2} - 12xy + 4y^{2} = (3x - 2y)^{2}

\begin{aligned}\text{c)}\quad (2x + 3y)^{2} - (x - 4y)^{2} &= [2x + 3y - (x - 4y)][2x + 3y + (x - 4y)] = \\&= (2x + 3y - x + 4y)(2x + 3y + x - 4y) = \\&= (x + 7y)(3x - y)\end{aligned}

W tym rachunku a to 2x + 3y, a b to x − 4y - stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

Trójmian kwadratowy jako iloczyn czynników liniowych

\text{1)}\quad (x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab

a i b to liczby naturalne

x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

\text{2)}\quad (x - a)(x - b) = x^{2} - (a + b)x + ab

x^{2} - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)

\text{3)}\quad (x + a)(x - b) = x^{2} + (a - b)x - ab

x^{2} - 2x - 24 = (x + 4)(x - 6)

\text{a)}\quad x^{2} + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

\text{d)}\quad x^{2} + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4)

\text{b)}\quad x^{2} - 11x + 28 = (x - 4)(x - 7)

\text{e)}\quad x^{2} - 2x - 35 = (x + 5)(x - 7)

\text{c)}\quad x^{2} - 3x - 18 = (x + 3)(x - 6)

\text{f)}\quad x^{2} - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)

Zadania powtórkowe

Rozłóż wyrażenia na czynniki.

\text{a)}\quad 18xy^{3} - 8x^{3}y = 2xy(9y^{2} - 4x^{2}) = 2xy(3y - 2x)(3y + 2x)

\begin{aligned}\text{b)}\quad x^{3} - 6x^{2}y - 2xy + 12y^{2} &= x^{2}(x - 6y) - 2y(x - 6y) = \\&= (x^{2} - 2y)(x - 6y)\end{aligned}

\begin{aligned}\text{c)}\quad 16x^{2} - 24xy - 18x + 27y &= 8x(2x - 3y) - 9(2x - 3y) = \\&= (8x - 9)(2x - 3y)\end{aligned}

\begin{aligned}\text{d)}\quad (x - 2y)^{2} - (2x - y)^{2} &= [x - 2y - (2x - y)][x - 2y + (2x - y)] = \\&= (x - 2y - 2x + y)(x - 2y + 2x - y) = (-x - y)(3x - 3y) = \\&= -3(x + y)(x - y)\end{aligned}

\text{e)}\quad x^{2} + 7x - 30 = (x + 10)(x - 3)

\text{f)}\quad 4x^{2} - 36 = (2x - 6)(2x + 6) = 4(x - 3)(x + 3)

\text{g)}\quad x^{2} + 10x + 25 = (x + 5)^{2}

\begin{aligned}\text{h)}\quad 3x^{2} - 11x - 4 &= 3x^{2} - 12x + x - 4 = 3x(x - 4) + (x - 4) = \\&= (3x + 1)(x - 4)\end{aligned}

Najczęstsze pytania

Od czego zacząć rozkład na czynniki?

Zawsze od wspólnego czynnika wszystkich wyrazów. W 18xy³ − 8x³y wspólne są 2, x i y, więc wychodzi 2xy(9y² − 4x²), a dopiero potem widać w nawiasie różnicę kwadratów.

Na czym polega rozkład przez grupowanie?

Dzielimy wyrazy na pary tak, żeby w każdej dało się wyłączyć wspólny czynnik, a w nawiasach wyszło to samo. Wtedy ten nawias wyłączamy jeszcze raz: x³ − 4x²y + xy² − 4y³ daje x²(x − 4y) + y²(x − 4y), czyli (x² + y²)(x − 4y).

Jak rozłożyć trójmian x² + 7x + 12?

Szukamy dwóch liczb, których suma daje 7, a iloczyn 12. To 3 i 4, więc trójmian to (x + 3)(x + 4). Gdy wyraz wolny jest ujemny, liczby mają różne znaki.

Co zrobić, gdy przy x² stoi liczba inna niż 1?

Rozbijamy środkowy wyraz tak, żeby dało się grupować. W 3x² − 11x − 4 zapisujemy −11x jako −12x + x, co daje 3x(x − 4) + (x − 4), czyli (3x + 1)(x − 4).

← Poprzednia

Ułamki algebraiczne: dodawanie, mnożenie i dzielenie

Następna →

Algebra - zadania powtórkowe