Od zera do inżyniera

Arytmetyka - zadania powtórkowe III

Pierwiastki jako potęgi ułamkowe, notacja naukowa i inżynierska, cyfry znaczące w rachunkach na wynikach pomiarów oraz zamiana liczb między systemem dziesiętnym, dwójkowym, ósemkowym, dwunastkowym i szesnastkowym.

Ostatnia część powtórki z arytmetyki zbiera to, czego używa się potem w rachunkach technicznych: pierwiastek zapisany jako potęga ułamkowa, notację naukową i inżynierską oraz zasadę cyfr znaczących. Na koniec wracają systemy liczbowe - tym razem wszystkie naraz, w obie strony. Warto zwrócić uwagę na jedno zadanie bez wyniku: pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Arytmetyka - zadania powtórkowe III

Oblicz wartość każdej z liczb z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

\text{a)}\quad 11^{\tfrac{1}{4}} = 1{,}821

\text{b)}\quad \sqrt[7]{3} = 3^{\tfrac{1}{7}} = 1{,}170

\text{c)}\quad (-81)^{\tfrac{1}{5}} = -2{,}408

\text{d)}\quad (-81)^{\tfrac{1}{4}}

nie istnieje

Zapisz w notacji naukowej.

\text{a)}\quad 537{,}6 = 5{,}376 \cdot 10^{2}

\text{b)}\quad 0{,}364 = 3{,}64 \cdot 10^{-1}

\text{c)}\quad 4902 = 4{,}902 \cdot 10^{3}

\text{d)}\quad 0{,}000125 = 1{,}25 \cdot 10^{-4}

Zamień na notację inżynierską.

\text{a)}\quad 6{,}147 \cdot 10^{7} = 61{,}47 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{7} = 61{,}47 \cdot 10^{6}

\text{b)}\quad 2{,}439 \cdot 10^{-4} = 243{,}9 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-4} = 243{,}9 \cdot 10^{-6}

\text{c)}\quad 5{,}286 \cdot 10^{5} = 528{,}6 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{5} = 528{,}6 \cdot 10^{3}

\text{d)}\quad 4{,}371 \cdot 10^{-7} = 437{,}1 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-7} = 437{,}1 \cdot 10^{-9}

Oblicz iloczyn i podaj wynik w notacji naukowej oraz inżynierskiej.

(6{,}43 \cdot 10^{3})(7{,}35 \cdot 10^{4}) = 6{,}43 \cdot 7{,}35 \cdot 10^{3} \cdot 10^{4} = 47{,}2605 \cdot 10^{7}

4{,}72605 \cdot 10^{1} \cdot 10^{7} = 4{,}72605 \cdot 10^{8}

notacja naukowa

472{,}605 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{7} = 472{,}605 \cdot 10^{6}

notacja inżynierska

Poniższe liczby pochodzą z pomiarów. Wykonaj obliczenia, zachowując właściwą dokładność.

\text{a)}\quad 18{,}4^{1{,}6} \cdot 0{,}01 = 105{,}6108448 \cdot 0{,}01 = 1{,}056108448 \approx 1

0,01 ma jedną cyfrę znaczącą, więc wynik też podajemy z jedną cyfrą znaczącą.

\text{b)}\quad \frac{7{,}632 \cdot 2{,}14 - 8{,}32 : 1{,}1}{16{,}04} = \frac{16{,}33248 - 7{,}56(36)}{16{,}04} = \frac{8{,}768844}{16{,}04} = 0{,}5466860349 \approx 0{,}55

Najmniej dokładna z liczb ma dwie cyfry znaczące, więc wynik zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących.

Zapisz liczby w systemie dziesiętnym

\text{a)}\quad 1111{,}11_{2} = 15{,}75_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3 \\3 \cdot 2 &= 6 \\6 + 1 &= 7 \\7 \cdot 2 &= 14 \\14 + 1 &= 15\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3\end{aligned}

3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75

\text{b)}\quad 777{,}701_{8} = 511{,}877_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}7 \cdot 8 &= 56 \\56 + 7 &= 63 \\63 \cdot 8 &= 504 \\504 + 7 &= 511\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}7 \cdot 8 &= 56 \\56 + 0 &= 56 \\56 \cdot 8 &= 448 \\448 + 1 &= 449\end{aligned}

449 \cdot 8^{-3} = 449 \cdot \frac{1}{512} = \frac{449}{512} = 0{,}877

\text{c)}\quad 3\Lambda 3{,}9\Lambda 1_{12} = 567{,}827_{10}

Λ = 11

Część całkowita

\begin{aligned}3 \cdot 12 &= 36 \\36 + 11 &= 47 \\47 \cdot 12 &= 564 \\564 + 3 &= 567\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}9 \cdot 12 &= 108 \\108 + 11 &= 119 \\119 \cdot 12 &= 1428 \\1428 + 1 &= 1429\end{aligned}

1429 \cdot 12^{-3} = 1429 \cdot \frac{1}{1728} = \frac{1429}{1728} = 0{,}827

\text{d)}\quad E02{,}FAB_{16} = 3586{,}979_{10}

A = 10, B = 11, E = 14, F = 15

Część całkowita

\begin{aligned}14 \cdot 16 &= 224 \\224 + 0 &= 224 \\224 \cdot 16 &= 3584 \\3584 + 2 &= 3586\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}15 \cdot 16 &= 240 \\240 + 10 &= 250 \\250 \cdot 16 &= 4000 \\4000 + 11 &= 4011\end{aligned}

4011 \cdot 16^{-3} = 4011 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{4011}{4096} = 0{,}979

Zamień 19,872 na postać ósemkową, dwunastkową i szesnastkową

19{,}872_{10} = 23{,}676_{8} = 13{,}DF_{16} = 17{,}X57_{12}

System ósemkowy

		reszta
19	: 8	3
2	: 8	2
0		↑

19_{10} = 23_{8}

	0,872	· 8
6	,976	· 8
7	,808	· 8
6	,464	· 8
3	,712

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}872_{10} = 0{,}676_{8}

System szesnastkowy przez zapis dwójkowy

010

011

110

111

110

0001

0011

1101

1111

0000

System dwunastkowy

		reszta
19	: 12	7
1	: 12	1
0		↑

19_{10} = 17_{12}

	0,872	· 12
X	,464	· 12
5	,568	· 12
6	,816	· 12
9	,792

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}872_{10} = 0{,}X57_{12}

Czwarta cyfra decyduje o zaokrągleniu trzeciej: 9 to więcej niż połowa dwunastki, więc 0,X569 zapisujemy jako 0,X57.

Najczęstsze pytania

Dlaczego pierwiastek czwartego stopnia z −81 nie istnieje?

Bo każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, więc nie ma liczby, której czwarta potęga wynosi −81. Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej już istnieje: (−81) do potęgi jednej piątej to −2,408.

Czym różni się notacja inżynierska od naukowej?

W naukowej przed potęgą stoi liczba od 1 do 10, a w inżynierskiej wykładnik musi być wielokrotnością trzech - dzięki temu odpowiada przedrostkom kilo, mega, mili. Dlatego 6,147 · 10⁷ zapisujemy jako 61,47 · 10⁶.

Ile cyfr znaczących ma mieć wynik obliczeń na pomiarach?

Tyle, ile ma najmniej dokładna z użytych liczb. Mnożenie przez 0,01, czyli liczbę o jednej cyfrze znaczącej, daje wynik podawany z jedną cyfrą znaczącą - stąd 1,056108448 zapisujemy jako 1.

Jak zamienić liczbę dziesiętną na kilka systemów naraz?

Najkrócej przez system ósemkowy: drabinkami dostajemy zapis ósemkowy, z niego zapis dwójkowy po trzy cyfry, a z pogrupowanych po cztery cyfr - szesnastkowy. System dwunastkowy liczymy osobno, bo 12 nie jest potęgą dwójki.

← Poprzednia

Arytmetyka - zadania powtórkowe II

Następna →

Algebra: prawa działań, redukcja wyrazów i opuszczanie nawiasów