Od zera do inżyniera

Arytmetyka - zadania powtórkowe II

Stosunki składników mieszaniny, zamiana ułamków na procenty i odwrotnie, rachunki z dokładnością do czterech cyfr znaczących, ułamki okresowe oraz działania na potęgach.

Druga część powtórki obejmuje to, co w kursie przyszło po ułamkach: stosunki, procenty, dokładność rachunku i potęgi. Zadania są krótkie, ale każde sprawdza inną umiejętność - od wyznaczenia proporcji mieszaniny po zapis liczby okresowej jako ułamka zwykłego. W rachunkach z wieloma nawiasami warto liczyć od środka i zapisywać każdy krok osobno, bo tam najłatwiej o pomyłkę.

Arytmetyka - zadania powtórkowe II

W każdym z przypadków podano proporcje mieszaniny. Wyznacz stosunek składników.

a) 3/4 składnika A, 1/4 składnika B.

3 : 1

A : B

b) 2/3 składnika P, 1/15 składnika Q, reszta to składnik R.

\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} = \frac{10}{15}

\frac{15}{15} - \left(\frac{1}{15} + \frac{10}{15}\right) = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}

10 : 1 : 4

P : Q : R

c) 1/5 składnika R, 3/5 składnika S, 1/6 składnika T, reszta to składnik U.

\frac{1}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{6}{6} = \frac{6}{30}

\frac{3}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{6} = \frac{18}{30}

\frac{1}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{5} = \frac{5}{30}

\frac{30}{30} - \left(\frac{6}{30} + \frac{18}{30} + \frac{5}{30}\right) = \frac{30}{30} - \frac{29}{30} = \frac{1}{30}

6 : 18 : 5 : 1

R : S : T : U

Zapisz 3/5 w procentach.

\frac{3}{5} \cdot \frac{20}{20} = \frac{60}{100} = 60\%

Zapisz 16% jako ułamek w najprostszej postaci.

16\% = \frac{16}{100} = \frac{16 : 4}{100 : 4} = \frac{4}{25}

Oblicz 17,5% z 12,50.

17{,}5\% \cdot 12{,}50 = \frac{17{,}5}{100} \cdot 12{,}50 = \frac{17{,}5}{8} = 2{,}1875

100 : 12{,}5 = 8

Oblicz wartość wyrażeń z dokładnością do czterech cyfr znaczących i do trzech miejsc po przecinku.

\text{a)}\quad 13{,}6 \cdot 25{,}8 : 4{,}2 \approx 83{,}54 \approx 83{,}543

\text{b)}\quad 13{,}6 : 4{,}2 \cdot 25{,}8 \approx 83{,}54 \approx 83{,}543

\begin{aligned}\text{c)}\quad 9{,}1(17{,}43 + 7{,}2(8{,}6 - 4{,}1^{2} \cdot 3{,}1)) &= 9{,}1(17{,}43 + 7{,}2(8{,}6 - 16{,}81 \cdot 3{,}1)) \\&= 9{,}1(17{,}43 + 7{,}2(8{,}6 - 52{,}111)) \\&= 9{,}1(17{,}43 + 7{,}2 \cdot (-43{,}511)) \\&= 9{,}1(17{,}43 - 313{,}2792) \\&= 9{,}1 \cdot (-295{,}8492) = -2692{,}22772 \\&\approx -2692 \approx -2692{,}228\end{aligned}

\begin{aligned}\text{d)}\quad -8{,}4((6{,}3 \cdot 9{,}1 + 2{,}2^{1{,}3}) - (4{,}1^{-3{,}1} : 3{,}3^{3} - 5{,}4)) &= \\&\hspace{-6em} = -8{,}4((6{,}3 \cdot 9{,}1 + 2{,}787) - (0{,}0126 : 35{,}937 - 5{,}4)) \\&\hspace{-6em} = -8{,}4((57{,}33 + 2{,}787) - (0{,}00035 - 5{,}4)) \\&\hspace{-6em} = -8{,}4(60{,}117 + 5{,}39965) = -8{,}4 \cdot 65{,}51665 = -550{,}33986 \\&\hspace{-6em} \approx -550{,}3 \approx -550{,}340\end{aligned}

Zamień ułamki zwykłe na postać dziesiętną z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

\tfrac{3}{17} = 0{,}176

\tfrac{-2}{15} = -0{,}133

\tfrac{17}{3} = 5{,}667

\tfrac{-24}{11} = -2{,}182

Zapisz każdą z liczb w najprostszej postaci.

\text{a)}\quad 6{,}7777\ldots = 6{,}(7)

\text{b)}\quad 0{,}01001001001\ldots = 0{,}(010)

Zamień liczby dziesiętne na ułamek zwykły w najprostszej postaci.

\text{a)}\quad 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

\text{b)}\quad 3{,}68 = \frac{368}{100} = \frac{92}{25}

c) 1,(4)

1{,}(4) = \tfrac{13}{9}

1{,}(4) \cdot 10 = 14{,}(4)

1{,}(4) \cdot 10 - 1{,}(4) = 14{,}(4) - 1{,}(4)

1{,}(4) \cdot 9 = 13 \quad / : 9

\text{d)}\quad -6{,}1 = -\frac{61}{10}

Zapisz każdą z liczb jako jedną liczbę podniesioną do potęgi.

\text{a)}\quad 2^{9} \cdot 2^{2} = 2^{9+2} = 2^{11}

\text{b)}\quad 6^{2} : 5^{2} = \left(\frac{6}{5}\right)^{2}

\text{c)}\quad \left((-4)^{4}\right)^{-4} = (-4)^{4 \cdot (-4)} = (-4)^{-16}

\text{d)}\quad \left(3^{-5}\right)^{0} = 3^{-5 \cdot 0} = 3^{0} = 1

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć stosunek składników mieszaniny?

Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika, a resztę liczymy jako całość minus suma pozostałych. Liczniki dają wtedy gotowy stosunek: 2/3, 1/15 i reszta to 10/15, 1/15 i 4/15, czyli 10 : 1 : 4.

Jak zamienić ułamek na procent?

Rozszerzamy go tak, żeby mianownik wyniósł 100 - licznik jest wtedy liczbą procentów. Dla 3/5 mnożymy licznik i mianownik przez 20 i dostajemy 60/100, czyli 60%.

Czym różni się dokładność do czterech cyfr znaczących od trzech miejsc po przecinku?

Cyfry znaczące liczymy od pierwszej niezerowej, a miejsca po przecinku od przecinka. Dlatego −2692,22772 ma cztery cyfry znaczące jako −2692, a trzy miejsca po przecinku dają −2692,228.

Jak zamienić liczbę okresową 1,(4) na ułamek zwykły?

Mnożymy ją przez 10, żeby przesunąć okres, i odejmujemy liczbę wyjściową: 1,(4) · 10 − 1,(4) daje 13, czyli 1,(4) · 9 = 13. Stąd 1,(4) = 13/9.

← Poprzednia

Arytmetyka - zadania powtórkowe

Następna →

Arytmetyka - zadania powtórkowe III