Od zera do inżyniera

Prawa działań: przemienność, łączność i rozdzielność

Które działania są przemienne i łączne, na czym polega rozdzielność mnożenia, dlaczego dzielenie jest rozdzielne tylko prawostronnie, oraz zaokrąglanie i szacowanie wyników.

Prawa działań mówią, co wolno przestawić, a czego nie. Dodawanie i mnożenie są przemienne i łączne, odejmowanie i dzielenie nie są - i właśnie te wyjątki są źródłem najczęstszych błędów rachunkowych. W drugiej części lekcji zaokrąglamy liczby i szacujemy wyniki.

Kolejność działań

\begin{aligned}5 - [8 + 7(4 - 1) - 9 : 3] &= 5 - [8 + 7 \cdot 3 - 3] \\&= 5 - [8 + 21 - 3] \\&= 5 - 26 = -21\end{aligned}

1
$4 - 1 = 3$ najpierw nawias
2
$9 : 3 = 3$ i dzielenie
3
$8 + 7 \cdot 3 - 3 = 26$ potem wnętrze nawiasu kwadratowego
4
$5 - 26 = -21$ na końcu odejmowanie

Przemienność

5 + 8 = 8 + 5 = 13

5 \cdot 8 = 8 \cdot 5 = 40

Dodawanie i mnożenie są działaniami przemiennymi.

4 - 2 \neq 2 - 4

4 : 2 \neq 2 : 4

Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami przemiennymi.

Łączność

3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 3 + 4 + 5 = 12

3 \cdot (4 \cdot 5) = (3 \cdot 4) \cdot 5 = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60

Dodawanie i mnożenie są działaniami łącznymi.

3 - (4 - 5) \neq (3 - 4) - 5

4 \neq -6

24 : (4 : 2) \neq (24 : 4) : 2

12 \neq 3

Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami łącznymi.

Rozdzielność

3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 27

(3 + 4) \cdot 5 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 35

3 \cdot (4 - 5) = 3 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = -3

(3 - 4) \cdot 5 = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 5 = -5

Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania - zarówno lewo-, jak i prawostronnie.

(60 + 15) : 5 = 60 : 5 + 15 : 5 = 15

60 : (15 + 5) \neq 60 : 15 + 60 : 5

3 \neq 16

(20 - 10) : 5 = 20 : 5 - 10 : 5 = 2

20 : (10 - 5) \neq 20 : 10 - 20 : 5

4 \neq -2

Dzielenie jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania tylko prawostronnie.

Szacowanie i zaokrąglanie

Zaokrąglij poniższe liczby do dziesiątek, setek i tysięcy.

liczba	do 10	do 100	do 1000
1846	1850	1800	2000
−638	−640	−600	−1000
445	450	400	0

Oszacuj wyniki poniższych obliczeń, zaokrąglając do dziesiątek.

18 \cdot 21 - 19 : 11 \approx 20 \cdot 20 - 20 : 10 = 400 - 2 = 398

99 : 101 - 49 \cdot 8 \approx 100 : 100 - 50 \cdot 10 = 1 - 500 = -499

Najczęstsze pytania

Które działania są przemienne?

Dodawanie i mnożenie: kolejność składników nie zmienia wyniku. Odejmowanie i dzielenie przemienne nie są, bo 4 − 2 to nie to samo co 2 − 4.

Dlaczego dzielenie jest rozdzielne tylko prawostronnie?

Bo dzielić można sumę przez liczbę, ale nie liczbę przez sumę. (60 + 15) : 5 rozbija się na 60 : 5 + 15 : 5, natomiast 60 : (15 + 5) daje 3, a 60 : 15 + 60 : 5 daje 16.

Jak zaokrąglić liczbę do setek?

Patrzymy na cyfrę dziesiątek. Jeśli jest równa 5 lub większa, setki zwiększamy o jeden, w przeciwnym razie zostawiamy. Reszta cyfr staje się zerami.

← Poprzednia

Liczby naturalne, liczby całkowite i kolejność działań

Następna →

Dzielniki, rozkład na czynniki pierwsze, NWD i NWW