Od zera do inżyniera

Dzielniki, rozkład na czynniki pierwsze, NWD i NWW

Zadania powtórkowe z kolejności działań i zaokrąglania, czym są dzielniki i liczby pierwsze, jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze oraz jak z rozkładu odczytać NWD i NWW.

Dzielnik to liczba, która dzieli inną bez reszty. Z dzielników wyrasta pojęcie liczby pierwszej, z liczb pierwszych rozkład na czynniki, a z rozkładu odczytuje się NWD i NWW. Ta lekcja prowadzi przez cały ten łańcuch na konkretnych liczbach.

Zadania powtórkowe

1) Wstaw właściwy znak (< lub >) między każdą parą liczb

-1 > -6

5 > -29

-14 < 7

2) Oblicz wartość każdego wyrażenia

16 - 12 \cdot 4 + 8 : 2 = 16 - 48 + 4 = -32 + 4 = -28

(16 - 12) \cdot (4 + 8) : 2 = 4 \cdot 12 : 2 = 48 : 2 = 24

\begin{aligned}9 - 3[17 + 5(5 - 7)] &= 9 - 3[17 + 5 \cdot (-2)] \\&= 9 - 3[17 - 10] = 9 - 3 \cdot 7 \\&= 9 - 21 = -12\end{aligned}

\begin{aligned}8[3(2 + 4) - 2(5 + 7)] &= 8[3 \cdot 6 - 2 \cdot 12] \\&= 8[18 - 24] = 8 \cdot (-6) = -48\end{aligned}

3) Udowodnij, że

6 - (3 - 2) \neq (6 - 3) - 2

6 - 1 \neq 3 - 2 \quad\Rightarrow\quad 5 \neq 1

24 : (2 + 6) \neq (24 : 2) + (24 : 6)

24 : 8 \neq 12 + 4 \quad\Rightarrow\quad 3 \neq 16

100 : (10 : 5) \neq (100 : 10) : 5

100 : 2 \neq 10 : 5 \quad\Rightarrow\quad 50 \neq 2

24 : (2 - 6) \neq (24 : 2) - (24 : 6)

24 : (-4) \neq 12 - 4 \quad\Rightarrow\quad -6 \neq 8

4) Zaokrąglij każdą liczbę do dziesiątek, setek i tysięcy

liczba	do 10	do 100	do 1000
2562	2560	2600	3000
1500	1500	1500	2000
−3451	−3450	−3500	−3000
−14525	−14530	−14500	−15000

Czynniki i dzielniki

Czynniki to para liczb, których iloczyn daje zadaną liczbę.

3 \cdot 6 = 18

Dzielnik to liczba całkowita, która dzieli inną liczbę bez reszty.

dzielniki liczby $18$ to $1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$

dzielniki liczby $12$ to $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$

dzielniki liczby $25$ to $1,\ 5,\ 25$

dzielniki liczby $17$ to $1,\ 17$

Siedemnaście to przykład liczby pierwszej.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Inne liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13 …

Rozkład na czynniki pierwsze

Każdą liczbę naturalną można zapisać jako iloczyn samych czynników pierwszych.

126	2
63	3
21	3
7	7
1

126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

84	2
42	2
21	3
7	7
1

84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

512	2
256	2
128	2
64	2
32	2
16	2
8	2
4	2
2	2
1

512 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

144	2
72	2
36	2
18	2
9	3
3	3
1

144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

66	2
33	3
11	11
1

66 = 2 \cdot 3 \cdot 11

\mathrm{NWD}(144;\ 66) = 2 \cdot 3 = 6

\mathrm{NWW}(144;\ 66) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 = 1584

\mathrm{NWD}(84;\ 512) = 2 \cdot 2 = 4

\mathrm{NWW}(84;\ 512) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 10752

Najczęstsze pytania

Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Dzielimy liczbę przez kolejne liczby pierwsze, zaczynając od najmniejszej, i zapisujemy iloraz pod spodem. Powtarzamy, aż zostanie jedynka. Czynniki z prawej kolumny tworzą rozkład, na przykład 126 = 2 · 3 · 3 · 7.

Jak obliczyć NWD i NWW z rozkładu?

NWD to iloczyn czynników wspólnych obu liczbom, a NWW to iloczyn wszystkich czynników, przy czym powtarzające się bierzemy tyle razy, ile najwięcej występują w jednym rozkładzie. Dla 144 i 66 daje to NWD równe 6 i NWW równe 1584.

Ile dzielników ma liczba pierwsza?

Dokładnie dwa: jedynkę i samą siebie. Dlatego 17 jest liczbą pierwszą, a 12 nie, bo dzieli się też przez 2, 3, 4 i 6.

← Poprzednia

Prawa działań: przemienność, łączność i rozdzielność

Następna →

Ułamki: mnożenie, dzielenie, dodawanie i skracanie