Od zera do inżyniera

Ułamki: mnożenie, dzielenie, dodawanie i skracanie

Powtórka z rozkładu na czynniki pierwsze oraz NWD i NWW, rodzaje ułamków, ułamki równoważne, skracanie, mnożenie, dzielenie przez odwrotność oraz sprowadzanie do wspólnego mianownika.

Ułamek to liczba całkowita podzielona przez inną liczbę całkowitą różną od zera. W tej lekcji poznasz rodzaje ułamków, nauczysz się je skracać i rozszerzać, a potem mnożyć, dzielić przez odwrotność oraz dodawać po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.

Zadania powtórkowe

1) Zapisz każdą liczbę jako iloczyn czynników pierwszych

429	3
143	11
13	13
1

429 = 3 \cdot 11 \cdot 13

2992	2
1496	2
748	2
374	2
187	11
17	17
1

2992 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 17

1820	2
910	2
455	5
91	7
13	13
1

1820 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13

3185	5
637	7
91	7
13	13
1

3185 = 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 13

2) Znajdź NWD i NWW podanych par liczb

63	3
21	3
7	7
1

63 = 3 \cdot 3 \cdot 7

34	2
17	17
1

34 = 2 \cdot 17

42	2
21	3
7	7
1

42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

92	2
46	2
23	23
1

92 = 2 \cdot 2 \cdot 23

\mathrm{NWD}(63;\ 42) = 3 \cdot 7 = 21

\mathrm{NWW}(63;\ 42) = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 126

\mathrm{NWD}(34;\ 92) = 2 = 2

\mathrm{NWW}(34;\ 92) = 2 \cdot 2 \cdot 17 \cdot 23 = 1564

Ułamki (liczby wymierne)

Ułamek zapisujemy jako liczbę całkowitą podzieloną przez liczbę całkowitą różną od zera; takie liczby nazywamy wymiernymi.

-\tfrac{8}{11}

ułamek właściwy

6\tfrac{2}{3}

liczba mieszana

\tfrac{12}{5}

ułamek niewłaściwy

\tfrac{4}{7}

4 to licznik, 7 to mianownik

Mnożenie ułamków

\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{5}{7} = \tfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \tfrac{10}{21}

\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{2}{15}

jedna trzecia z dwóch piątych

\tfrac{5}{9} \cdot \tfrac{2}{7} = \tfrac{5 \cdot 2}{9 \cdot 7} = \tfrac{10}{63}

\tfrac{3}{8} \cdot \tfrac{5}{7} = \tfrac{15}{56}

trzy ósme z pięciu siódmych

Ułamki równoważne

\tfrac{4}{5} = \tfrac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{3}{3} = \tfrac{4}{5} \cdot 1 = \tfrac{4}{5}

\tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{3}{3} = \tfrac{12}{15}

\tfrac{4}{5} = \tfrac{12}{15}

\tfrac{7}{5} \cdot \tfrac{4}{4} = \tfrac{28}{20}

\tfrac{7}{5} = \tfrac{28}{20}

Skracanie ułamków

\tfrac{16}{96} = \tfrac{16}{6 \cdot 16} = \tfrac{1}{6}

\tfrac{84}{108} = \tfrac{7 \cdot 12}{9 \cdot 12} = \tfrac{7}{9}

Dzielenie ułamków

Aby podzielić dwa ułamki, mnożymy pierwszy przez odwrotność drugiego.

\tfrac{2}{3} : \tfrac{5}{7} = \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{7}{5} = \tfrac{14}{15}

\tfrac{7}{13} : \tfrac{3}{4} = \tfrac{7}{13} \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{28}{39}

Dodawanie i odejmowanie ułamków

\tfrac{2}{7} + \tfrac{3}{7} = \tfrac{2 + 3}{7} = \tfrac{5}{7}

wspólny mianownik

\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{5} = \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{5}{5} + \tfrac{1}{5} \cdot \tfrac{3}{3} = \tfrac{10}{15} + \tfrac{3}{15} = \tfrac{13}{15}

brak wspólnego mianownika, więc go szukamy

\tfrac{5}{9} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{9} \cdot \tfrac{2}{2} + \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{3}{3} = \tfrac{10}{18} + \tfrac{3}{18} = \tfrac{13}{18}

\tfrac{11}{15} - \tfrac{2}{3} = \tfrac{11}{15} - \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{5}{5} = \tfrac{11}{15} - \tfrac{10}{15} = \tfrac{1}{15}

Najczęstsze pytania

Jak pomnożyć dwa ułamki?

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik, nie sprowadzając niczego do wspólnego mianownika. Na przykład 2/3 · 5/7 = 10/21.

Jak podzielić ułamek przez ułamek?

Mnożymy pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego, czyli przez ułamek z zamienionym licznikiem i mianownikiem. Zatem 2/3 : 5/7 = 2/3 · 7/5 = 14/15.

Po co sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika?

Bo dodawać można tylko części tej samej wielkości. Dopiero gdy 2/3 i 1/5 zapiszemy jako 10/15 i 3/15, wolno dodać liczniki i otrzymać 13/15.

← Poprzednia

Dzielniki, rozkład na czynniki pierwsze, NWD i NWW

Następna →

Stosunki i procenty