Od zera do inżyniera

Twierdzenie o pierwiastku i rozkład wielomianu na czynniki

Kiedy dwumian x − a jest dzielnikiem wielomianu, jak znaleźć pierwszy pierwiastek metodą prób oraz jak rozłożyć wielomian trzeciego stopnia na trzy czynniki liniowe.

Twierdzenie Bézouta z poprzedniej lekcji ma wniosek, na którym opiera się cały rozkład wielomianów: jeśli f(a) = 0, to dwumian x − a jest dzielnikiem f(x). Daje to prosty przepis na rozkład wielomianu trzeciego stopnia. Najpierw szukamy jednego pierwiastka - zwykle wśród małych liczb całkowitych. Potem dzielimy przez odpowiedni dwumian, co obniża stopień do dwóch. Na końcu zostaje trójmian kwadratowy, a z nim radzimy sobie wzorem na pierwiastki.

Twierdzenie o pierwiastku

Jeżeli wielomian f(x) dzielimy przez x − a, to reszta jest równa f(a). Jeżeli f(a) = 0, to x − a jest dzielnikiem wielomianu f(x).

Przykład pierwszy

f(x) = 2x^{3} + x^{2} - 13x + 6

(2x^{3} + x^{2} - 13x + 6) : (x - 2)

f(x) = [(2x + 1)x - 13]x + 6

f(2) = [(2\cdot 2 + 1)\cdot 2 - 13]\cdot 2 + 6 = (-3)\cdot 2 + 6 = -6 + 6 = 0

(2x^{3} + x^{2} - 13x + 6) : (x - 2) = 2x^{2} + 5x - 3

$2x^{3}$	$- 4x^{2}$
0	$5x^{2}$	$- 13x$
	$5x^{2}$	$- 10x$
	0	$- 3x$	$+ 6$
		$- 3x$	$+ 6$
			$0$

(x - 2)(2x^{2} + 5x - 3) = 2x^{3} + x^{2} - 13x + 6

f(x) = 2x^{3} + x^{2} - 13x + 6 = (x - 2)(2x^{2} + 5x - 3)

Równanie kwadratowe

f(x) = ax^{2} + bx + c

ax^{2} + bx + c = 0,\quad a \neq 0

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania

x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^{2} - 4\cdot 2\cdot(-3)}}{2\cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}

x_{1} = -3

x_{2} = \tfrac{1}{2}

ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})

2x^{2} + 5x - 3 = 2(x + 3)\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = (x + 3)(2x - 1)

f(x) = 2x^{3} + x^{2} - 13x + 6 = (x - 2)(2x^{2} + 5x - 3) = (x - 2)(x + 3)(2x - 1)

Przykład drugi

f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 2x + 24

(x^{3} - 5x^{2} - 2x + 24) : (x - 3)

f(x) = [(x - 5)x - 2]x + 24 \quad\Rightarrow\quad f(3) = [(3 - 5)\cdot 3 - 2]\cdot 3 + 24 = -24 + 24 = 0

(x^{3} - 5x^{2} - 2x + 24) : (x - 3) = x^{2} - 2x - 8

$x^{3}$	$- 3x^{2}$
0	$- 2x^{2}$	$- 2x$
	$- 2x^{2}$	$+ 6x$
	0	$- 8x$	$+ 24$
		$- 8x$	$+ 24$
			$0$

(x - 3)(x^{2} - 2x - 8) = x^{3} - 5x^{2} - 2x + 24

f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 2x + 24 = (x - 3)(x^{2} - 2x - 8)

x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4\cdot 1\cdot(-8)}}{2\cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}

x_{1} = -2

x_{2} = 4

x^{2} - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)

f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 2x + 24 = (x - 3)(x^{2} - 2x - 8) = (x - 3)(x + 2)(x - 4)

Przykład trzeci

f(x) = x^{3} - 6x^{2} - 7x + 60

(x^{3} - 6x^{2} - 7x + 60) : (x - 4)

f(x) = [(x - 6)x - 7]x + 60 \quad\Rightarrow\quad f(4) = [(4 - 6)\cdot 4 - 7]\cdot 4 + 60 = -60 + 60 = 0

(x^{3} - 6x^{2} - 7x + 60) : (x - 4) = x^{2} - 2x - 15

$x^{3}$	$- 4x^{2}$
0	$- 2x^{2}$	$- 7x$
	$- 2x^{2}$	$+ 8x$
	0	$- 15x$	$+ 60$
		$- 15x$	$+ 60$
			$0$

(x - 4)(x^{2} - 2x - 15) = x^{3} - 6x^{2} - 7x + 60

x^{2} - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)

(x + a)(x − b) = x² + (a − b)x − ab

f(x) = x^{3} - 6x^{2} - 7x + 60 = (x - 4)(x^{2} - 2x - 15) = (x - 4)(x + 3)(x - 5)

Gdy pierwszy czynnik nie jest podany

Szukamy takiej liczby k, dla której f(k) = 0. Sprawdzamy po kolei małe liczby całkowite, licząc wartości postacią zagnieżdżoną - to kilka mnożeń na próbę.

f(x) = x^{3} + 5x^{2} - 2x - 24 = [(x + 5)x - 2]x - 24

k = 1 \;\Rightarrow\; [(1 + 5)\cdot 1 - 2]\cdot 1 - 24 = -20 \neq 0

k = -1 \;\Rightarrow\; [(-1 + 5)\cdot(-1) - 2]\cdot(-1) - 24 = -18 \neq 0

k = 2 \;\Rightarrow\; [(2 + 5)\cdot 2 - 2]\cdot 2 - 24 = 0

(x^{3} + 5x^{2} - 2x - 24) : (x - 2) = x^{2} + 7x + 12

$x^{3}$	$- 2x^{2}$
0	$7x^{2}$	$- 2x$
	$7x^{2}$	$- 14x$
	0	$12x$	$- 24$
		$12x$	$- 24$
			$0$

(x - 2)(x^{2} + 7x + 12) = x^{3} + 5x^{2} - 2x - 24

x^{2} + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

f(x) = x^{3} + 5x^{2} - 2x - 24 = (x - 2)(x + 3)(x + 4)

Ten sam sposób przy współczynniku innym niż jeden

f(x) = 2x^{3} - 9x^{2} + 7x + 6 = [(2x - 9)x + 7]x + 6

k = 1 \;\Rightarrow\; [(2\cdot 1 - 9)\cdot 1 + 7]\cdot 1 + 6 = 6 \neq 0

k = -1 \;\Rightarrow\; [(2\cdot(-1) - 9)\cdot(-1) + 7]\cdot(-1) + 6 = -12 \neq 0

k = 2 \;\Rightarrow\; [(2\cdot 2 - 9)\cdot 2 + 7]\cdot 2 + 6 = 0

(2x^{3} - 9x^{2} + 7x + 6) : (x - 2) = 2x^{2} - 5x - 3

$2x^{3}$	$- 4x^{2}$
0	$- 5x^{2}$	$+ 7x$
	$- 5x^{2}$	$+ 10x$
	0	$- 3x$	$+ 6$
		$- 3x$	$+ 6$
			$0$

(x - 2)(2x^{2} - 5x - 3) = 2x^{3} - 9x^{2} + 7x + 6

x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2} - 4\cdot 2\cdot(-3)}}{2\cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}

x_{1} = 3

x_{2} = -\tfrac{1}{2}

2x^{2} - 5x - 3 = 2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right) = (x - 3)(2x + 1)

2x^{3} - 9x^{2} + 7x + 6 = (x - 2)(2x^{2} - 5x - 3) = (x - 2)(x - 3)(2x + 1)

Najczęstsze pytania

Co mówi twierdzenie o pierwiastku wielomianu?

Że jeśli f(a) = 0, to dwumian x − a jest dzielnikiem wielomianu f(x). To wniosek z twierdzenia Bézouta: reszta z dzielenia przez x − a jest równa f(a), więc zerowa wartość znaczy zerową resztę.

Jak znaleźć pierwszy pierwiastek, gdy nikt go nie podaje?

Sprawdzamy po kolei małe liczby całkowite: 1, −1, 2, −2, 3 i tak dalej. Warto zaczynać od dzielników wyrazu wolnego, bo tylko one mogą być pierwiastkami całkowitymi.

Jak wygląda wzór na pierwiastki równania kwadratowego?

Dla ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0, mamy x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Równanie w postaci ogólnej ma dwa rozwiązania.

Jak z pierwiastków trójmianu zapisać go w postaci iloczynowej?

Wzorem ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Dla 2x² + 5x − 3 pierwiastki to −3 i 1/2, więc 2x² + 5x − 3 = 2(x + 3)(x − 1/2) = (x + 3)(2x − 1).

← Poprzednia

Schemat Hornera i twierdzenie Bézouta

Następna →

Rozkład wielomianów czwartego stopnia na czynniki