Od zera do inżyniera

Rozkład wielomianów czwartego stopnia na czynniki

Rozkład wielomianu czwartego stopnia na cztery czynniki liniowe: dwa pierwiastki znalezione próbami, dzielenie przez iloczyn dwumianów i wzór na pierwiastki trójmianu na końcu.

Wielomian czwartego stopnia rozkłada się tak samo jak trzeciego, tylko krok trzeba wykonać dwa razy. Można dzielić dwukrotnie przez pojedyncze dwumiany albo, gdy znamy już dwa pierwiastki, od razu przez ich iloczyn - drugi sposób jest krótszy, bo jedno dzielenie zbija stopień z czterech do dwóch. Tak czy inaczej na końcu zostaje trójmian kwadratowy, a to już znany rachunek.

Dwa dzielenia po kolei

f(x) = 2x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + x + 6 = \{[(2x - 1)x - 8]x + 1\}x + 6

x = 1 \;\Rightarrow\; \{[(2\cdot 1 - 1)\cdot 1 - 8]\cdot 1 + 1\}\cdot 1 + 6 = 0

(2x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + x + 6) : (x - 1) = 2x^{3} + x^{2} - 7x - 6

$2x^{4}$	$- 2x^{3}$
0	$x^{3}$	$- 8x^{2}$
	$x^{3}$	$- x^{2}$
	0	$- 7x^{2}$	$+ x$
		$- 7x^{2}$	$+ 7x$
		0	$- 6x$	$+ 6$
			$- 6x$	$+ 6$
				$0$

(x - 1)(2x^{3} + x^{2} - 7x - 6) = 2x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + x + 6

2x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + x + 6 = (x - 1)(2x^{3} + x^{2} - 7x - 6)

drugi nawias to g(x)

g(x) = 2x^{3} + x^{2} - 7x - 6 = [(2x + 1)x - 7]x - 6

x = -1 \;\Rightarrow\; [(2\cdot(-1) + 1)\cdot(-1) - 7]\cdot(-1) - 6 = 0

(2x^{3} + x^{2} - 7x - 6) : (x + 1) = 2x^{2} - x - 6

$2x^{3}$	$+ 2x^{2}$
0	$- x^{2}$	$- 7x$
	$- x^{2}$	$- x$
	0	$- 6x$	$- 6$
		$- 6x$	$- 6$
			$0$

(x + 1)(2x^{2} - x - 6) = 2x^{3} + x^{2} - 7x - 6

2x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + x + 6 = (x - 1)(x + 1)(2x^{2} - x - 6)

x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot 2\cdot(-6)}}{2\cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}

x_{1} = 2

x_{2} = -\tfrac{3}{2}

2x^{2} - x - 6 = 2(x - 2)\left(x + \tfrac{3}{2}\right) = (x - 2)(2x + 3)

2x^{4} - x^{3} - 8x^{2} + x + 6 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(2x + 3)

Jedno dzielenie przez iloczyn dwumianów

Gdy próbami znajdziemy od razu dwa pierwiastki, nie trzeba dzielić dwa razy. Wystarczy podzielić przez iloczyn odpowiadających im dwumianów.

f(x) = 2x^{4} - 5x^{3} - 15x^{2} + 10x + 8 = \{[(2x - 5)x - 15]x + 10\}x + 8

x = 1 \;\Rightarrow\; \{[(2\cdot 1 - 5)\cdot 1 - 15]\cdot 1 + 10\}\cdot 1 + 8 = 0

x = -2 \;\Rightarrow\; \{[(2\cdot(-2) - 5)\cdot(-2) - 15]\cdot(-2) + 10\}\cdot(-2) + 8 = 0

2x^{4} - 5x^{3} - 15x^{2} + 10x + 8 = (x - 1)(x + 2)(ax^{2} + bx + c)

(x − 1)(x + 2) = x² + x − 2

(2x^{4} - 5x^{3} - 15x^{2} + 10x + 8) : (x^{2} + x - 2) = 2x^{2} - 7x - 4

$2x^{4}$	$+ 2x^{3}$	$- 4x^{2}$
0	$- 7x^{3}$	$- 11x^{2}$	$+ 10x$
	$- 7x^{3}$	$- 7x^{2}$	$+ 14x$
	0	$- 4x^{2}$	$- 4x$	$+ 8$
		$- 4x^{2}$	$- 4x$	$+ 8$
				$0$

(x^{2} + x - 2)(2x^{2} - 7x - 4) = 2x^{4} - 5x^{3} - 15x^{2} + 10x + 8

x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^{2} - 4\cdot 2\cdot(-4)}}{2\cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4}

x_{1} = 4

x_{2} = -\tfrac{1}{2}

2x^{2} - 7x - 4 = 2(x - 4)\left(x + \tfrac{1}{2}\right) = (x - 4)(2x + 1)

2x^{4} - 5x^{3} - 15x^{2} + 10x + 8 = (x - 1)(x + 2)(x - 4)(2x + 1)

Ten sam sposób, inny wielomian

f(x) = 2x^{4} - 3x^{3} - 14x^{2} + 33x - 18 = \{[(2x - 3)x - 14]x + 33\}x - 18

x = 1 \;\Rightarrow\; \{[(2\cdot 1 - 3)\cdot 1 - 14]\cdot 1 + 33\}\cdot 1 - 18 = 0

x = 2 \;\Rightarrow\; \{[(2\cdot 2 - 3)\cdot 2 - 14]\cdot 2 + 33\}\cdot 2 - 18 = 0

2x^{4} - 3x^{3} - 14x^{2} + 33x - 18 = (x - 1)(x - 2)(ax^{2} + bx + c)

(x − 1)(x − 2) = x² − 3x + 2

(2x^{4} - 3x^{3} - 14x^{2} + 33x - 18) : (x^{2} - 3x + 2) = 2x^{2} + 3x - 9

$2x^{4}$	$- 6x^{3}$	$+ 4x^{2}$
0	$3x^{3}$	$- 18x^{2}$	$+ 33x$
	$3x^{3}$	$- 9x^{2}$	$+ 6x$
	0	$- 9x^{2}$	$+ 27x$	$- 18$
		$- 9x^{2}$	$+ 27x$	$- 18$
				$0$

(x^{2} - 3x + 2)(2x^{2} + 3x - 9) = 2x^{4} - 3x^{3} - 14x^{2} + 33x - 18

x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2} - 4\cdot 2\cdot(-9)}}{2\cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4} = \frac{-3 \pm 9}{4}

x_{1} = -3

x_{2} = \tfrac{3}{2}

2x^{2} + 3x - 9 = 2(x + 3)\left(x - \tfrac{3}{2}\right) = (x + 3)(2x - 3)

2x^{4} - 3x^{3} - 14x^{2} + 33x - 18 = (x - 1)(x - 2)(x + 3)(2x - 3)

Zadania powtórkowe

Zapisz f(x) = 6x³ − 5x² + 4x − 3 w postaci zagnieżdżonej i oblicz f(2).

[(6x - 5)x + 4]x - 3

f(2) = [(6\cdot 2 - 5)\cdot 2 + 4]\cdot 2 - 3 = 33

Wyznacz resztę bez wykonywania całego dzielenia.

(x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 4) : (x - 2)

x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} + 0x - 4 = \{[(x - 2)x + 3]x + 0\}x - 4

f(2) = \{[(2 - 2)\cdot 2 + 3]\cdot 2 + 0\}\cdot 2 - 4 = 8

to jest szukana reszta

Rozłóż na czynniki wielomian 6x⁴ + x³ − 25x² − 4x + 4.

6x^{4} + x^{3} - 25x^{2} - 4x + 4 = \{[(6x + 1)x - 25]x - 4\}x + 4

x = 2 \;\Rightarrow\; \{[(6\cdot 2 + 1)\cdot 2 - 25]\cdot 2 - 4\}\cdot 2 + 4 = 0

x = -2 \;\Rightarrow\; \{[(6\cdot(-2) + 1)\cdot(-2) - 25]\cdot(-2) - 4\}\cdot(-2) + 4 = 0

6x^{4} + x^{3} - 25x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)(x + 2)(ax^{2} + bx + c)

(x − 2)(x + 2) = x² − 4

(6x^{4} + x^{3} - 25x^{2} - 4x + 4) : (x^{2} - 4) = 6x^{2} + x - 1

$6x^{4}$	$+ 0x^{3}$	$- 24x^{2}$
0	$x^{3}$	$- x^{2}$	$- 4x$
	$x^{3}$	$+ 0x^{2}$	$- 4x$
	0	$- x^{2}$	$+ 0x$	$+ 4$
		$- x^{2}$	$+ 0x$	$+ 4$
				$0$

(x^{2} - 4)(6x^{2} + x - 1) = 6x^{4} + x^{3} - 25x^{2} - 4x + 4

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4\cdot 6\cdot(-1)}}{2\cdot 6} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{-1 \pm 5}{12}

x_{1} = -\tfrac{1}{2}

x_{2} = \tfrac{1}{3}

6x^{2} + x - 1 = 6\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\left(x - \tfrac{1}{3}\right) = 2\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\cdot 3\left(x - \tfrac{1}{3}\right) = (2x + 1)(3x - 1)

6x^{4} + x^{3} - 25x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)(x + 2)(2x + 1)(3x - 1)

Najczęstsze pytania

Jak rozłożyć wielomian czwartego stopnia na czynniki?

Szukamy pierwiastka próbami, dzielimy przez odpowiedni dwumian i powtarzamy to na otrzymanym wielomianie trzeciego stopnia. Zostaje trójmian kwadratowy, który rozkładamy wzorem na pierwiastki.

Po co dzielić od razu przez iloczyn dwóch dwumianów?

Bo to jedno dzielenie zamiast dwóch. Jeśli f(1) = 0 i f(−2) = 0, to dzielimy przez (x − 1)(x + 2) = x² + x − 2 i od razu dostajemy trójmian kwadratowy.

Które liczby warto sprawdzać jako pierwsze?

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli dla 6x⁴ + x³ − 25x² − 4x + 4 liczby ±1, ±2 i ±4. Tylko one mogą być pierwiastkami całkowitymi.

Jak wyznaczyć resztę bez wykonywania dzielenia?

Policzyć wartość wielomianu w punkcie a. Reszta z dzielenia x⁴ − 2x³ + 3x² − 4 przez x − 2 to f(2) = 8, i nie trzeba w tym celu nic dzielić.

← Poprzednia

Twierdzenie o pierwiastku i rozkład wielomianu na czynniki

Następna →

Wielomiany - zadania powtórkowe