Od zera do inżyniera

Wielomiany - zadania powtórkowe

Zestaw powtórkowy: obliczanie wartości wyrażeń z zaokrągleniem, wyznaczanie zmiennej z podwójnego pierwiastka, schemat Hornera, reszta z dzielenia i rozkład wielomianów na czynniki liniowe.

To ostatnia lekcja części algebraicznej i zarazem sprawdzian tego, co w niej było. Zadania są wymieszane celowo: przy każdym trzeba najpierw rozpoznać, o jaką technikę chodzi, a dopiero potem liczyć. Jeśli któreś sprawia kłopot, w opisie każdego działu jest odesłanie do lekcji, z której pochodzi.

Obliczanie wartości wyrażeń

Oblicz z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

\sqrt{\frac{2V}{\pi h} - \frac{h^{2}}{3}}

\text{a)}\quad V = 23{,}05

h = 2{,}69

\pi = 3{,}14

\begin{aligned}\sqrt{\frac{2V}{\pi h} - \frac{h^{2}}{3}} &= \sqrt{\frac{2\cdot 23{,}05}{3{,}14\cdot 2{,}69} - \frac{2{,}69^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{46{,}1}{8{,}45} - \frac{7{,}24}{3}} = \\&= \sqrt{5{,}46 - 2{,}41} = \sqrt{3{,}05} = 1{,}75\end{aligned}

\text{b)}\quad V = 85{,}67

h = 5{,}44

\pi = 3{,}14

\begin{aligned}\sqrt{\frac{2V}{\pi h} - \frac{h^{2}}{3}} &= \sqrt{\frac{2\cdot 85{,}67}{3{,}14\cdot 5{,}44} - \frac{5{,}44^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{171{,}34}{17{,}1} - \frac{29{,}6}{3}} = \\&= \sqrt{10{,}02 - 9{,}87} = \sqrt{0{,}15} = 0{,}387\end{aligned}

Przekształcanie wzoru

Mając q = √((5p² − 1)² − 2), wyraź p za pomocą q.

\begin{aligned}q &= \sqrt{(5p^{2} - 1)^{2} - 2} \;\Big/ ^{2} \\q^{2} &= (5p^{2} - 1)^{2} - 2 \\q^{2} + 2 &= (5p^{2} - 1)^{2} \;\Big/ \sqrt{\phantom{x}} \\\sqrt{q^{2} + 2} &= 5p^{2} - 1 \\\sqrt{q^{2} + 2} + 1 &= 5p^{2} \;\Big/ : 5 \\\frac{\sqrt{q^{2} + 2} + 1}{5} &= p^{2} \;\Big/ \sqrt{\phantom{x}} \\p &= \sqrt{\frac{\sqrt{q^{2} + 2} + 1}{5}}\end{aligned}

Schemat Hornera

Zapisz wielomian w postaci zagnieżdżonej i oblicz jego wartość dla podanego x.

\text{a)}\quad f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 5x - 4 = [(2x - 3)x + 5]x - 4

f(3) = [(2\cdot 3 - 3)\cdot 3 + 5]\cdot 3 - 4 = 38

\text{b)}\quad f(x) = 4x^{3} + 2x^{2} - 7x - 2 = [(4x + 2)x - 7]x - 2

f(2) = [(4\cdot 2 + 2)\cdot 2 - 7]\cdot 2 - 2 = 24

\text{c)}\quad f(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 8 = 3x^{3} - 4x^{2} + 0x + 8 = [(3x - 4)x + 0]x + 8

f(4) = [(3\cdot 4 - 4)\cdot 4 + 0]\cdot 4 + 8 = 136

\text{d)}\quad f(x) = 2x^{3} + x - 5 = 2x^{3} + 0x^{2} + x - 5 = [(2x + 0)x + 1]x - 5

f(5) = [(2\cdot 5 + 0)\cdot 5 + 1]\cdot 5 - 5 = 250

Reszta z dzielenia

Wyznacz resztę z dzielenia.

(4x^{3} - 5x^{2} + 7x - 3) : (x - 3)

[(4x - 5)x + 7]x - 3

f(3) = [(4\cdot 3 - 5)\cdot 3 + 7]\cdot 3 - 3 = 81

to jest szukana reszta

Rozkład na czynniki

Sprawdź, czy x − 2 jest dzielnikiem wielomianu f(x). Jeśli tak, rozłóż f(x) na czynniki.

f(x) = 2x^{3} + 2x^{2} - 17x + 10 = [(2x + 2)x - 17]x + 10

f(2) = [(2\cdot 2 + 2)\cdot 2 - 17]\cdot 2 + 10 = 0

(2x^{3} + 2x^{2} - 17x + 10) : (x - 2) = 2x^{2} + 6x - 5

$2x^{3}$	$- 4x^{2}$
0	$6x^{2}$	$- 17x$
	$6x^{2}$	$- 12x$
	0	$- 5x$	$+ 10$
		$- 5x$	$+ 10$
			$0$

(x - 2)(2x^{2} + 6x - 5) = 2x^{3} + 2x^{2} - 17x + 10

2x^{3} + 2x^{2} - 17x + 10 = (x - 2)(2x^{2} + 6x - 5)

Zapisz f(x) = 2x³ + 7x² − 14x − 40 jako iloczyn trzech czynników liniowych.

f(x) = 2x^{3} + 7x^{2} - 14x - 40 = [(2x + 7)x - 14]x - 40

x = -2 \;\Rightarrow\; f(-2) = [(2\cdot(-2) + 7)\cdot(-2) - 14]\cdot(-2) - 40 = 0

(2x^{3} + 7x^{2} - 14x - 40) : (x + 2) = 2x^{2} + 3x - 20

$2x^{3}$	$+ 4x^{2}$
0	$3x^{2}$	$- 14x$
	$3x^{2}$	$+ 6x$
	0	$- 20x$	$- 40$
		$- 20x$	$- 40$
			$0$

(x + 2)(2x^{2} + 3x - 20) = 2x^{3} + 7x^{2} - 14x - 40

x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2} - 4\cdot 2\cdot(-20)}}{2\cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4} = \frac{-3 \pm 13}{4}

x_{1} = -4

x_{2} = \tfrac{5}{2}

2x^{2} + 3x - 20 = 2(x + 4)\left(x - \tfrac{5}{2}\right) = (x + 4)(2x - 5)

2x^{3} + 7x^{2} - 14x - 40 = (x + 2)(x + 4)(2x - 5)

Zapisz f(x) = 2x⁴ − 7x³ − 2x² + 13x + 6 jako iloczyn czterech czynników liniowych.

f(x) = 2x^{4} - 7x^{3} - 2x^{2} + 13x + 6 = \{[(2x - 7)x - 2]x + 13\}x + 6

x = -1 \;\Rightarrow\; \{[(2\cdot(-1) - 7)\cdot(-1) - 2]\cdot(-1) + 13\}\cdot(-1) + 6 = 0

x = 2 \;\Rightarrow\; \{[(2\cdot 2 - 7)\cdot 2 - 2]\cdot 2 + 13\}\cdot 2 + 6 = 0

2x^{4} - 7x^{3} - 2x^{2} + 13x + 6 = (x + 1)(x - 2)(ax^{2} + bx + c)

(x + 1)(x − 2) = x² − x − 2

(2x^{4} - 7x^{3} - 2x^{2} + 13x + 6) : (x^{2} - x - 2) = 2x^{2} - 5x - 3

$2x^{4}$	$- 2x^{3}$	$- 4x^{2}$
0	$- 5x^{3}$	$+ 2x^{2}$	$+ 13x$
	$- 5x^{3}$	$+ 5x^{2}$	$+ 10x$
	0	$- 3x^{2}$	$+ 3x$	$+ 6$
		$- 3x^{2}$	$+ 3x$	$+ 6$
				$0$

(x^{2} - x - 2)(2x^{2} - 5x - 3) = 2x^{4} - 7x^{3} - 2x^{2} + 13x + 6

x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2} - 4\cdot 2\cdot(-3)}}{2\cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}

x_{1} = -\tfrac{1}{2}

x_{2} = 3

2x^{2} - 5x - 3 = 2\left(x + \tfrac{1}{2}\right)(x - 3) = (2x + 1)(x - 3)

2x^{4} - 7x^{3} - 2x^{2} + 13x + 6 = (x + 1)(x - 2)(2x + 1)(x - 3)

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć zmienną ukrytą pod dwoma pierwiastkami?

Zdejmujemy pierwiastki po kolei, za każdym razem podnosząc obie strony do kwadratu. Z q = √((5p² − 1)² − 2) wychodzi kolejno q² + 2 = (5p² − 1)², potem √(q² + 2) = 5p² − 1, a na końcu p = √((√(q² + 2) + 1)/5).

Ile cyfr znaczących zostawić w wyniku?

Tyle, ile podano w poleceniu. Trzy cyfry znaczące to dla 1,746424... wynik 1,75, a dla 0,387298... wynik 0,387 - liczy się liczba cyfr, a nie miejsc po przecinku.

Jak szybko sprawdzić, czy x − 2 jest dzielnikiem wielomianu?

Policzyć f(2) postacią zagnieżdżoną. Dla 2x³ + 2x² − 17x + 10 wychodzi f(2) = 0, więc x − 2 jest dzielnikiem i można wykonać dzielenie.

Co zrobić, gdy trójmian po dzieleniu nie rozkłada się na ładne czynniki?

Zostawiamy go w postaci trójmianu. Rozkład 2x³ + 2x² − 17x + 10 = (x − 2)(2x² + 6x − 5) jest pełny w liczbach wymiernych - pierwiastki tego trójmianu są niewymierne.

← Poprzednia

Rozkład wielomianów czwartego stopnia na czynniki