Od zera do inżyniera

System ósemkowy jako krok pośredni: z dziesiętnego na dwójkowy i szesnastkowy

Zamiana liczby dziesiętnej na ósemkową, potem każdej cyfry na trzy cyfry dwójkowe, a grup po cztery cyfry dwójkowe - na szesnastkowe. I ta sama droga w przeciwną stronę.

Zamiana liczby dziesiętnej wprost na szesnastkową jest żmudna. Dużo szybciej idzie przez system ósemkowy: najpierw dzielimy przez 8, potem każdą cyfrę ósemkową rozpisujemy na trzy cyfry dwójkowe, a te grupujemy po cztery i odczytujemy szesnastkowo. Każdy krok jest mechaniczny, bo 8 i 16 są potęgami dwójki - właśnie dlatego zapis dwójkowy działa tu jak wspólny język. Ta sama droga przebyta w przeciwną stronę zamienia liczbę szesnastkową na dziesiętną.

Liczby ósemkowe jako krok pośredni

a) zamiana na system ósemkowy

348{,}654_{10} = 534{,}517_{8}

		reszta
348	: 8	4
43	: 8	3
5	: 8	5
0		↑

348_{10} = 534_{8}

	0,654	· 8
5	,232	· 8
1	,856	· 8
6	,848	· 8
6	,784

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}654_{10} = 0{,}517_{8}

Czwarta cyfra decyduje o zaokrągleniu trzeciej: 6 to więcej niż połowa ósemki, więc 0,5166 zapisujemy jako 0,517.

b) zapisz każdą cyfrę jako trzy cyfry dwójkowe

348{,}654_{10} = 534{,}517_{8} = 101011100{,}101001111_{2}

101

011

100

101

001

111

Wartości pozycji - patrz część 10 tego kursu.

c) pogrupuj cyfry dwójkowe po cztery, w obie strony od przecinka

0001

0101

1100

1010

0111

1000

Dopisujemy zera tak, aby w każdej grupie były cztery cyfry.

d) zapisz każdą grupę czterech cyfr szesnastkowo

348{,}654_{10} = 534{,}517_{8} = 101011100{,}101001111_{2} = 15C{,}A78_{16}

Zamień na postać ósemkową, dwójkową i szesnastkową

428{,}371_{10} = 654{,}276_{8}

		reszta
428	: 8	4
53	: 8	5
6	: 8	6
0		↑

428_{10} = 654_{8}

	0,371	· 8
2	,968	· 8
7	,744	· 8
5	,952	· 8
7	,616

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}371_{10} = 0{,}276_{8}

110

101

100

010

111

110

0001

1010

1100

0101

1111

0000

428{,}371_{10} = 654{,}276_{8} = 110101100{,}010111110_{2} = 1AC{,}5F_{16}

163{,}245_{10} = 243{,}175_{8}

		reszta
163	: 8	3
20	: 8	4
2	: 8	2
0		↑

163_{10} = 243_{8}

	0,245	· 8
1	,960	· 8
7	,680	· 8
5	,440

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}245_{10} = 0{,}175_{8}

010

100

011

001

111

101

0000

1010

0011

1110

1000

163{,}245_{10} = 243{,}175_{8} = 010100011{,}001111101_{2} = A3{,}3E8_{16}

Zamiana na postać dwójkową, ósemkową i dziesiętną - metoda odwrotna

\text{a)}\quad 4B2{,}1A6_{16} = 010010110010{,}000110100110_{2} = 2262{,}0646_{8} = 1202{,}103_{10}

A = 10, B = 11

0100

1011

0010

0001

1010

0110

010

110

010

000

110

100

110

2262{,}0646_{8} = 1202{,}103_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}2 \cdot 8 &= 16 \\16 + 2 &= 18 \\18 \cdot 8 &= 144 \\144 + 6 &= 150 \\150 \cdot 8 &= 1200 \\1200 + 2 &= 1202\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}0 \cdot 8 &= 0 \\0 + 6 &= 6 \\6 \cdot 8 &= 48 \\48 + 4 &= 52 \\52 \cdot 8 &= 416 \\416 + 6 &= 422\end{aligned}

422 \cdot 8^{-4} = 422 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{422}{4096} = 0{,}103

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\text{b)}\quad 2E3{,}4D_{16} = 001011100011{,}01001101_{2} = 1343{,}232_{8} = 739{,}301_{10}

D = 13, E = 14

0010

1110

0011

0100

1101

001

011

100

011

010

011

010

1343{,}232_{8} = 739{,}301_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}1 \cdot 8 &= 8 \\8 + 3 &= 11 \\11 \cdot 8 &= 88 \\88 + 4 &= 92 \\92 \cdot 8 &= 736 \\736 + 3 &= 739\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}2 \cdot 8 &= 16 \\16 + 3 &= 19 \\19 \cdot 8 &= 152 \\152 + 2 &= 154\end{aligned}

154 \cdot 8^{-3} = 154 \cdot \frac{1}{512} = \frac{154}{512} = 0{,}301

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

Najczęstsze pytania

Dlaczego przez system ósemkowy, a nie od razu na szesnastkowy?

Bo dzielenie przez 8 i mnożenie przez 8 robi się w pamięci, a przez 16 już nie zawsze. Zapis ósemkowy zamienia się potem na dwójkowy jedną cyfrą naraz, więc cała trudna część znika.

Ile cyfr dwójkowych odpowiada jednej cyfrze ósemkowej?

Dokładnie trzy, bo 8 to 2³ - każda z ośmiu wartości mieści się w trzech cyfrach dwójkowych. Przy systemie szesnastkowym są to cztery cyfry, bo 16 to 2⁴.

Od której strony grupuje się cyfry dwójkowe?

Zawsze od przecinka: część całkowitą w lewo, część ułamkową w prawo. Brakujące miejsca w skrajnej grupie uzupełniamy zerami - to nie zmienia wartości liczby.

Jak wrócić z zapisu szesnastkowego do dziesiętnego?

Każdą cyfrę szesnastkową rozpisujemy na cztery cyfry dwójkowe, przegrupowujemy je po trzy i odczytujemy liczbę ósemkową, a tę zamieniamy na dziesiętną metodą z części 11.

← Poprzednia

Zamiana liczby dziesiętnej na inny system liczbowy

Następna →

Systemy liczbowe - zadania powtórkowe