Od zera do inżyniera

Systemy liczbowe - zadania powtórkowe

Zestaw zadań na wszystkie cztery systemy: zamiana na dziesiętny schematem Hornera, zamiana dziesiętnej na dwunastkową drabinkami oraz droga przez zapis dwójkowy do szesnastkowego.

Trzy poprzednie lekcje dały trzy narzędzia: schemat mnożenia i dodawania, drabinki dzielenia i mnożenia oraz grupowanie cyfr dwójkowych. Tutaj używamy ich razem, na liczbach zapisanych w systemie dwójkowym, ósemkowym, dwunastkowym i szesnastkowym. Nic nowego do zapamiętania - liczy się to, żeby w każdym zadaniu rozpoznać, które narzędzie jest najkrótszą drogą do wyniku.

Zadania powtórkowe

Zapisz poniższe liczby w systemie dziesiętnym.

\text{a)}\quad 1110{,}11_{2} = 14{,}75_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3 \\3 \cdot 2 &= 6 \\6 + 1 &= 7 \\7 \cdot 2 &= 14 \\14 + 0 &= 14\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3\end{aligned}

3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75

\text{b)}\quad 507{,}632_{8} = 327{,}801_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}5 \cdot 8 &= 40 \\40 + 0 &= 40 \\40 \cdot 8 &= 320 \\320 + 7 &= 327\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}6 \cdot 8 &= 48 \\48 + 3 &= 51 \\51 \cdot 8 &= 408 \\408 + 2 &= 410\end{aligned}

410 \cdot 8^{-3} = 410 \cdot \frac{1}{512} = \frac{410}{512} = 0{,}801

\text{c)}\quad 345{,}2\Lambda 7_{12} = 485{,}247_{10}

Λ = 11

Część całkowita

\begin{aligned}3 \cdot 12 &= 36 \\36 + 4 &= 40 \\40 \cdot 12 &= 480 \\480 + 5 &= 485\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}2 \cdot 12 &= 24 \\24 + 11 &= 35 \\35 \cdot 12 &= 420 \\420 + 7 &= 427\end{aligned}

427 \cdot 12^{-3} = 427 \cdot \frac{1}{1728} = \frac{427}{1728} = 0{,}247

\text{d)}\quad 2B4{,}CA3_{16} = 692{,}790_{10}

A = 10, B = 11, C = 12

Część całkowita

\begin{aligned}2 \cdot 16 &= 32 \\32 + 11 &= 43 \\43 \cdot 16 &= 688 \\688 + 4 &= 692\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}12 \cdot 16 &= 192 \\192 + 10 &= 202 \\202 \cdot 16 &= 3232 \\3232 + 3 &= 3235\end{aligned}

3235 \cdot 16^{-3} = 3235 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{3235}{4096} = 0{,}790

Zapisz 427,362 w systemie dwunastkowym

427{,}362_{10} = 2\Lambda 7{,}442_{12}

		reszta
427	: 12	7
35	: 12	Λ
2	: 12	2
0		↑

427_{10} = 2Λ7_{12}

	0,362	· 12
4	,344	· 12
4	,128	· 12
1	,536	· 12
6	,432

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}362_{10} = 0{,}442_{12}

Czwarta cyfra decyduje o zaokrągleniu trzeciej: 6 to połowa dwunastki, więc 0,4416 zapisujemy jako 0,442.

Zamień 139,825 na postać ósemkową, dwójkową i szesnastkową

139{,}825_{10} = 213{,}646_{8} = 10001011{,}110100110_{2} = 8B{,}D3_{16}

		reszta
139	: 8	3
17	: 8	1
2	: 8	2
0		↑

139_{10} = 213_{8}

	0,825	· 8
6	,600	· 8
4	,800	· 8
6	,400	· 8
3	,200

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}825_{10} = 0{,}646_{8}

010

001

011

110

100

110

0000

1000

1011

1101

0011

0000

Najczęstsze pytania

Co oznacza symbol Λ w systemie dwunastkowym?

Jedenaście. System dwunastkowy potrzebuje dwóch znaków ponad cyfry od 0 do 9: X oznacza dziesięć, a Λ jedenaście. W liczbie 345,2Λ7 symbol Λ stoi więc na drugim miejscu po przecinku i ma wartość 11.

Którą metodą zamieniać liczbę na dziesiętną?

Schematem z części 11: mnożymy przez podstawę i dodajemy kolejną cyfrę. Jest krótszy od wypisywania wartości pozycji i działa tak samo w każdym systemie, także wtedy, gdy cyframi są litery.

Dlaczego 0,4416 w systemie dwunastkowym zapisujemy jako 0,442?

Bo zaokrąglamy do trzech cyfr, a czwarta cyfra to 6 - dokładnie połowa dwunastki, więc trzecia rośnie z 1 na 2. W systemie dwunastkowym granicą zaokrąglenia jest 6, a nie 5 jak w dziesiętnym.

Jak z liczby dziesiętnej dostać zapis szesnastkowy?

Najpierw drabinkami na system ósemkowy, potem każdą cyfrę ósemkową na trzy cyfry dwójkowe, a te pogrupowane po cztery odczytujemy szesnastkowo. Dla 139,825 daje to kolejno 213,646 i 8B,D3.

← Poprzednia

System ósemkowy jako krok pośredni: z dziesiętnego na dwójkowy i szesnastkowy

Następna →

Arytmetyka - zadania powtórkowe