Od zera do inżyniera

Zamiana liczb z innych systemów na dziesiętne - metoda alternatywna

Schemat mnożenia i dodawania, który zamienia liczbę zapisaną w systemie dwójkowym, ósemkowym, dwunastkowym lub szesnastkowym na dziesiętną bez wypisywania potęg podstawy.

Poprzednia lekcja zamieniała liczby przez wypisanie wartości każdej pozycji. Da się to zrobić krócej: mnożymy pierwszą cyfrę przez podstawę, dodajemy następną cyfrę, znów mnożymy przez podstawę i tak do końca. To ten sam rachunek, tylko poukładany inaczej - mniej zapisu i mniej okazji do pomyłki. Część ułamkową liczymy tak samo, a na końcu dzielimy wynik przez podstawę podniesioną do liczby cyfr po przecinku.

Zamiana liczb z różnych systemów liczbowych na dziesiętne metodą alternatywną

\text{1)}\quad 357{,}121_{8} = 239{,}1582_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}3 \cdot 8 &= 24 \\24 + 5 &= 29 \\29 \cdot 8 &= 232 \\232 + 7 &= 239\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 8 &= 8 \\8 + 2 &= 10 \\10 \cdot 8 &= 80 \\80 + 1 &= 81\end{aligned}

81 \cdot 8^{-3} = 81 \cdot \frac{1}{512} = \frac{81}{512} = 0{,}1582

z dokładnością do czterech miejsc po przecinku

\text{2)}\quad 245{,}136_{12} = 341{,}1076_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}2 \cdot 12 &= 24 \\24 + 4 &= 28 \\28 \cdot 12 &= 336 \\336 + 5 &= 341\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 12 &= 12 \\12 + 3 &= 15 \\15 \cdot 12 &= 180 \\180 + 6 &= 186\end{aligned}

186 \cdot 12^{-3} = 186 \cdot \frac{1}{1728} = \frac{186}{1728} = 0{,}1076

z dokładnością do czterech miejsc po przecinku

\text{3)}\quad 11011{,}1011_{2} = 27{,}6875_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3 \\3 \cdot 2 &= 6 \\6 + 0 &= 6 \\6 \cdot 2 &= 12 \\12 + 1 &= 13 \\13 \cdot 2 &= 26 \\26 + 1 &= 27\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 0 &= 2 \\2 \cdot 2 &= 4 \\4 + 1 &= 5 \\5 \cdot 2 &= 10 \\10 + 1 &= 11\end{aligned}

11 \cdot 2^{-4} = 11 \cdot \frac{1}{16} = \frac{11}{16} = 0{,}6875

\text{4)}\quad 4C5{,}2B8_{16} = 1221{,}1699_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}4 \cdot 16 &= 64 \\64 + 12 &= 76 \\76 \cdot 16 &= 1216 \\1216 + 5 &= 1221\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}2 \cdot 16 &= 32 \\32 + 11 &= 43 \\43 \cdot 16 &= 688 \\688 + 8 &= 696\end{aligned}

696 \cdot 16^{-3} = 696 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{696}{4096} = 0{,}1699

z dokładnością do czterech miejsc po przecinku

Zadania powtórkowe

Zapisz każdą z poniższych liczb w systemie dziesiętnym, z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

\text{1)}\quad 11001{,}11_{2} = 25{,}750_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3 \\3 \cdot 2 &= 6 \\6 + 0 &= 6 \\6 \cdot 2 &= 12 \\12 + 0 &= 12 \\12 \cdot 2 &= 24 \\24 + 1 &= 25\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3\end{aligned}

3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}750

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\text{2)}\quad 776{,}143_{8} = 510{,}193_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}7 \cdot 8 &= 56 \\56 + 7 &= 63 \\63 \cdot 8 &= 504 \\504 + 6 &= 510\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 8 &= 8 \\8 + 4 &= 12 \\12 \cdot 8 &= 96 \\96 + 3 &= 99\end{aligned}

99 \cdot 8^{-3} = 99 \cdot \frac{1}{512} = \frac{99}{512} = 0{,}193

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\text{3)}\quad 4X9{,}2\Lambda 5_{12} = 705{,}246_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}4 \cdot 12 &= 48 \\48 + 10 &= 58 \\58 \cdot 12 &= 696 \\696 + 9 &= 705\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}2 \cdot 12 &= 24 \\24 + 11 &= 35 \\35 \cdot 12 &= 420 \\420 + 5 &= 425\end{aligned}

425 \cdot 12^{-3} = 425 \cdot \frac{1}{1728} = \frac{425}{1728} = 0{,}246

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\text{4)}\quad 6F8{,}3D5_{16} = 1784{,}240_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}6 \cdot 16 &= 96 \\96 + 15 &= 111 \\111 \cdot 16 &= 1776 \\1776 + 8 &= 1784\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}3 \cdot 16 &= 48 \\48 + 13 &= 61 \\61 \cdot 16 &= 976 \\976 + 5 &= 981\end{aligned}

981 \cdot 16^{-3} = 981 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{981}{4096} = 0{,}240

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

Najczęstsze pytania

Na czym polega metoda alternatywna zamiany na system dziesiętny?

Bierzemy pierwszą cyfrę, mnożymy ją przez podstawę i dodajemy drugą cyfrę. Wynik znów mnożymy przez podstawę i dodajemy trzecią cyfrę - i tak aż do ostatniej. Dla 357 w systemie ósemkowym daje to 3 · 8 = 24, 24 + 5 = 29, 29 · 8 = 232, 232 + 7 = 239.

Jak policzyć tą metodą część po przecinku?

Cyfry po przecinku przepuszczamy przez ten sam schemat, a otrzymaną liczbę mnożymy przez podstawę w potędze minus liczba tych cyfr. Dla 121 w systemie ósemkowym wychodzi 81, a 81 · 8⁻³ to 81/512, czyli 0,1582 z dokładnością do czterech miejsc.

Dlaczego ta metoda jest szybsza od wypisywania potęg?

Bo nie trzeba znać ani liczyć wartości pozycji. Zamiast mnożyć każdą cyfrę przez inną potęgę podstawy, wykonujemy tylko mnożenia przez samą podstawę i dodawania - działania, które robi się w pamięci.

Czy wynik zawsze jest dokładny?

Część całkowita zawsze. Część ułamkowa bywa ułamkiem o rozwinięciu nieskończonym - wtedy podajemy ją z ustaloną dokładnością, na przykład do czterech miejsc po przecinku. Gdy mianownikiem jest potęga dwójki, jak 11/16, rozwinięcie się kończy i równość jest dokładna.

← Poprzednia

Systemy liczbowe: dwójkowy, ósemkowy, dwunastkowy i szesnastkowy

Następna →

Zamiana liczby dziesiętnej na inny system liczbowy