Od zera do inżyniera

Systemy liczbowe: dwójkowy, ósemkowy, dwunastkowy i szesnastkowy

Wartości pozycji jako potęgi podstawy, symbole używane w każdym systemie oraz zamiana liczby zapisanej w systemie dwójkowym, ósemkowym, dwunastkowym i szesnastkowym na liczbę dziesiętną.

System dziesiętny nie jest jedyny możliwy - jest tylko tym, do którego przywykliśmy. Każdy system opiera się na tej samej zasadzie: wartość pozycji to potęga podstawy. Zmienia się podstawa i zestaw symboli, cała reszta zostaje. Ta lekcja pokazuje cztery takie systemy i jedną metodę zamiany na liczbę dziesiętną, która działa w każdym z nich.

Systemy liczbowe - system dziesiętny

	2	7	6	5,	3	2	3
wartości pozycji	$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$
	$1000$	$100$	$10$	$1$	$\tfrac{1}{10}$	$\tfrac{1}{100}$	$\tfrac{1}{1000}$

Wartości pozycji są potęgami dziesiątki - stąd nazwa system dziesiętny.

System dwójkowy (podstawa 2)

	1	0	1	1,	1	0	1
wartości pozycji	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$	$2^{-1}$	$2^{-2}$	$2^{-3}$
	$8$	$4$	$2$	$1$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{1}{8}$

Wartości pozycji są potęgami dwójki.

Zamiana liczby dwójkowej na dziesiętną

\text{a)}\quad 1011{,}101_{2} = 11{,}625_{10}

\begin{aligned}&1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \tfrac{1}{2} + 0 \cdot \tfrac{1}{4} + 1 \cdot \tfrac{1}{8} \\&= 11 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8} = 11\tfrac{5}{8} = 11{,}625\end{aligned}

\text{b)}\quad 1101{,}011_{2} = 13{,}375_{10}

\begin{aligned}&1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot \tfrac{1}{2} + 1 \cdot \tfrac{1}{4} + 1 \cdot \tfrac{1}{8} \\&= 13 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} = 13\tfrac{3}{8} = 13{,}375\end{aligned}

Małe indeksy 2 i 10 wskazują podstawy obu systemów liczbowych.

System ósemkowy (podstawa 8)

System ósemkowy używa następujących symboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

	3	5	7,	3	2	1
wartości pozycji	$8^{2}$	$8^{1}$	$8^{0}$	$8^{-1}$	$8^{-2}$	$8^{-3}$
	$64$	$8$	$1$	$\tfrac{1}{8}$	$\tfrac{1}{64}$	$\tfrac{1}{512}$

Wartości pozycji są potęgami ósemki.

Zamiana liczby ósemkowej na dziesiętną

\text{a)}\quad 357{,}321_{8} = 239{,}408_{10}

\begin{aligned}&3 \cdot 64 + 5 \cdot 8 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot \tfrac{1}{8} + 2 \cdot \tfrac{1}{64} + 1 \cdot \tfrac{1}{512} \\&= 192 + 40 + 7 + \tfrac{3}{8} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{512} \\&= 239\tfrac{209}{512} = 239{,}408\end{aligned}

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\text{b)}\quad 263{,}452_{8} = 179{,}582_{10}

\begin{aligned}&2 \cdot 64 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot \tfrac{1}{8} + 5 \cdot \tfrac{1}{64} + 2 \cdot \tfrac{1}{512} \\&= 128 + 48 + 3 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{64} + \tfrac{1}{256} \\&= 179\tfrac{149}{256} = 179{,}582\end{aligned}

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

System dwunastkowy (podstawa 12)

System dwunastkowy używa następujących symboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, Λ.

	2	X	5,	1	3	6
wartości pozycji	$12^{2}$	$12^{1}$	$12^{0}$	$12^{-1}$	$12^{-2}$	$12^{-3}$
	$144$	$12$	$1$	$\tfrac{1}{12}$	$\tfrac{1}{144}$	$\tfrac{1}{1728}$

Wartości pozycji są potęgami dwunastki.

Zamiana liczby dwunastkowej na dziesiętną

\text{a)}\quad 2X5{,}136_{12} = 413{,}108_{10}

\begin{aligned}&2 \cdot 144 + 10 \cdot 12 + 5 \cdot 1 + 1 \cdot \tfrac{1}{12} + 3 \cdot \tfrac{1}{144} + 6 \cdot \tfrac{1}{1728} \\&= 288 + 120 + 5 + \tfrac{1}{12} + \tfrac{3}{144} + \tfrac{1}{288} \\&= 413\tfrac{31}{288} = 413{,}108\end{aligned}

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\text{b)}\quad 3\Lambda 4{,}265_{12} = 568{,}211_{10}

\begin{aligned}&3 \cdot 144 + 11 \cdot 12 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot \tfrac{1}{12} + 6 \cdot \tfrac{1}{144} + 5 \cdot \tfrac{1}{1728} \\&= 432 + 132 + 4 + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{24} + \tfrac{5}{1728} \\&= 568\tfrac{365}{1728} = 568{,}211\end{aligned}

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

System szesnastkowy

System szesnastkowy używa następujących symboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	2	A	7,	3	E	2
wartości pozycji	$16^{2}$	$16^{1}$	$16^{0}$	$16^{-1}$	$16^{-2}$	$16^{-3}$
	$256$	$16$	$1$	$\tfrac{1}{16}$	$\tfrac{1}{256}$	$\tfrac{1}{4096}$

Wartości pozycji są potęgami szesnastki.

Zamiana liczby szesnastkowej na dziesiętną

\text{a)}\quad 2A7{,}3E2_{16} = 679{,}243_{10}

\begin{aligned}&2 \cdot 256 + 10 \cdot 16 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot \tfrac{1}{16} + 14 \cdot \tfrac{1}{256} + 2 \cdot \tfrac{1}{4096} \\&= 512 + 160 + 7 + \tfrac{3}{16} + \tfrac{7}{128} + \tfrac{1}{2048} \\&= 679\tfrac{497}{2048} = 679{,}243\end{aligned}

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\text{b)}\quad 3C4{,}21F_{16} = 964{,}133_{10}

\begin{aligned}&3 \cdot 256 + 12 \cdot 16 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot \tfrac{1}{16} + 1 \cdot \tfrac{1}{256} + 15 \cdot \tfrac{1}{4096} \\&= 768 + 192 + 4 + \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{256} + \tfrac{15}{4096} \\&= 964\tfrac{543}{4096} = 964{,}133\end{aligned}

z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

Najczęstsze pytania

Jak zamienić liczbę dwójkową na dziesiętną?

Każdą cyfrę mnożymy przez wartość jej pozycji, czyli odpowiednią potęgę dwójki, i dodajemy wyniki. Dla 1011,101 daje to 8 + 2 + 1 + 1/2 + 1/8, czyli 11,625.

Jakich symboli używa system szesnastkowy?

Cyfr od 0 do 9 oraz liter od A do F, gdzie A oznacza dziesięć, a F piętnaście. Dzięki temu każda pozycja mieści szesnaście różnych wartości przy jednym znaku.

Co oznacza mały indeks przy liczbie?

Podstawę systemu, w którym liczba jest zapisana. Zapis 1011₂ = 11₁₀ czyta się: liczba 1011 w systemie dwójkowym to 11 w systemie dziesiętnym.

Dlaczego system dwunastkowy potrzebuje dodatkowych znaków?

Bo na jednej pozycji musi zmieścić dwanaście wartości, a cyfr od 0 do 9 jest tylko dziesięć. Brakujące dwie oznacza się osobnymi znakami X i Λ, czyli dziesięć i jedenaście.

← Poprzednia

Notacja inżynierska i dokładność obliczeń

Następna →

Zamiana liczb z innych systemów na dziesiętne - metoda alternatywna