Od zera do inżyniera

Ułamki dziesiętne, zaokrąglanie i rozwinięcia okresowe

Cyfry znaczące i miejsca po przecinku, zera końcowe, zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie oraz zapisywanie rozwinięć okresowych w postaci ułamka.

Ułamek dziesiętny to inny zapis tej samej liczby co ułamek zwykły. W tej lekcji zaokrąglamy liczby na dwa sposoby - do cyfr znaczących i do miejsc po przecinku - a potem zamieniamy ułamki zwykłe na dziesiętne i z powrotem, łącznie z rozwinięciami okresowymi.

Ułamki dziesiętne

25 : 8 = 3{,}125

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych

1) Cyfry znaczące

Liczymy je od pierwszej cyfry różnej od zera, patrząc od lewej strony liczby.

2) Miejsca po przecinku

Liczymy je na prawo od przecinka dziesiętnego.

$9{,}4534$ → zaokrąglone do 2 cyfr znaczących to $9{,}5$

$9{,}4534$ → zaokrąglone do 3 cyfr znaczących to $9{,}45$

$0{,}001354$ → zaokrąglone do 2 cyfr znaczących to $0{,}0014$

$18{,}7249$ → zaokrąglone do 4 cyfr znaczących to $18{,}72$

$8{,}1265$ → zaokrąglone do 4 cyfr znaczących to $8{,}127$

$123{,}4467$ → zaokrąglone do 1 miejsc po przecinku to $123{,}4$

$123{,}4467$ → zaokrąglone do 2 miejsc po przecinku to $123{,}45$

$47{,}0235$ → zaokrąglone do 3 miejsc po przecinku to $47{,}024$

Zera końcowe

$12645$ → zaokrąglone do 2 cyfr znaczących to $13000$

$13{,}1$ → zaokrąglone do 3 miejsc po przecinku to $13{,}100$

$1515$ → zaokrąglone do 2 cyfr znaczących to $1500$

$25{,}13$ → zaokrąglone do 4 miejsc po przecinku to $25{,}1300$

Ułamki zwykłe jako dziesiętne i dziesiętne jako zwykłe

\tfrac{7}{4} = 7 : 4 = 1{,}75

\tfrac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375

1{,}224 = \tfrac{1224}{1000} = \tfrac{153}{125}

0{,}52 = \tfrac{52}{100} = \tfrac{13}{25}

Rozwinięcia nieskończone okresowe

\tfrac{1}{3} = 0{,}3333\ldots = 0{,}(3)

Czytamy: zero i trzy w okresie.

\tfrac{2}{11} = 0{,}181818\ldots = 0{,}(18)

\tfrac{1}{7} = 0{,}142857142857142857\ldots = 0{,}(142857)

Rozwinięcia okresowe jako ułamki zwykłe

0{,}(18) = \tfrac{2}{11}

\begin{aligned}100 \cdot 0{,}(18) &= 18{,}(18) \\100 \cdot 0{,}(18) - 0{,}(18) &= 18{,}(18) - 0{,}(18) \\99 \cdot 0{,}(18) &= 18 \\0{,}(18) &= \tfrac{18}{99} = \tfrac{2}{11}\end{aligned}

0{,}(21) = \tfrac{7}{33}

\begin{aligned}100 \cdot 0{,}(21) &= 21{,}(21) \\99 \cdot 0{,}(21) &= 21 \\0{,}(21) &= \tfrac{21}{99} = \tfrac{7}{33}\end{aligned}

2{,}0(315) = 2\tfrac{7}{222}

\begin{aligned}2{,}0(315) &= 2 + 0{,}0(315) \\1000 \cdot 0{,}0(315) &= 31{,}5(315) \\999 \cdot 0{,}0(315) &= 31{,}5 \\0{,}0(315) &= \tfrac{31{,}5}{999} = \tfrac{315}{9990} = \tfrac{7}{222}\end{aligned}

315 : 45 = 7

9990 : 45 = 222

3{,}2(1) = 3\tfrac{19}{90}

\begin{aligned}3{,}2(1) &= 3{,}2 + 0{,}0(1) \\10 \cdot 0{,}0(1) &= 0{,}1(1) \\9 \cdot 0{,}0(1) &= 0{,}1 \\0{,}0(1) &= \tfrac{0{,}1}{9} = \tfrac{1}{90}\end{aligned}

3\tfrac{2}{10} + \tfrac{1}{90} = 3\tfrac{18}{90} + \tfrac{1}{90} = 3\tfrac{19}{90}

Najczęstsze pytania

Czym różnią się cyfry znaczące od miejsc po przecinku?

Cyfry znaczące liczymy od pierwszej cyfry różnej od zera, patrząc od lewej. Miejsca po przecinku liczymy na prawo od przecinka. Dlatego 0,001354 ma dwie cyfry znaczące w zapisie 0,0014, ale zero miejsc po przecinku w zapisie 0,00.

Jak zamienić rozwinięcie okresowe na ułamek?

Mnożymy liczbę przez potęgę dziesiątki tak, aby przesunąć jeden pełny okres, odejmujemy pierwotną liczbę i dzielimy przez różnicę. Dla 0,(18) daje to 99 · 0,(18) = 18, czyli 18/99, po skróceniu 2/11.

Skąd biorą się zera końcowe przy zaokrąglaniu?

Pokazują dokładność zapisu. 13,1 zaokrąglone do trzech miejsc to 13,100 - zera mówią, że wynik jest znany z dokładnością do tysięcznych, choć wartość się nie zmieniła.

← Poprzednia

Stosunki i procenty

Następna →

Potęgi: mnożenie, dzielenie i wykładniki ujemne