Od zera do inżyniera

Potęgi: mnożenie, dzielenie i wykładniki ujemne

Zadania powtórkowe z zaokrąglania i rozwinięć okresowych, a następnie prawa działań na potęgach: dodawanie i odejmowanie wykładników, wykładnik zerowy, wykładniki ujemne i potęgowanie potęgi.

Potęga to skrót zapisu wielokrotnego mnożenia: zamiast 10 · 10 · 10 · 10 piszemy 10 do czwartej. Ta lekcja zbiera prawa działań na potęgach - dodawanie i odejmowanie wykładników, wykładnik zerowy, wykładniki ujemne oraz potęgowanie potęgi.

Zadania powtórkowe

1) Zaokrąglij każdą liczbę do trzech cyfr znaczących, a potem do dwóch miejsc po przecinku

$12{,}455$ → zaokrąglone do 3 cyfr znaczących to $12{,}5$

$12{,}455$ → zaokrąglone do 2 miejsc po przecinku to $12{,}46$

$0{,}01356$ → zaokrąglone do 3 cyfr znaczących to $0{,}0136$

$0{,}01356$ → zaokrąglone do 2 miejsc po przecinku to $0{,}01$

$0{,}1005$ → zaokrąglone do 3 cyfr znaczących to $0{,}101$

$0{,}1005$ → zaokrąglone do 2 miejsc po przecinku to $0{,}10$

$1344{,}555$ → zaokrąglone do 3 cyfr znaczących to $1340$

$1344{,}555$ → zaokrąglone do 2 miejsc po przecinku to $1344{,}56$

2) Zapisz każdą liczbę w najprostszej postaci

12{,}110110110\ldots = 12{,}(110)

0{,}123123123\ldots = 0{,}(123)

-3{,}11111\ldots = -3{,}(1)

-9360{,}936093609360 = -9360{,}(9360)

3) Zamień ułamki zwykłe na dziesiętne z dokładnością do trzech miejsc po przecinku

\tfrac{3}{16} = 0{,}188

\tfrac{-5}{9} = -0{,}556

\tfrac{7}{6} = 1{,}167

\tfrac{-24}{11} = -2{,}182

4) Zamień liczby dziesiętne na ułamki zwykłe w najprostszej postaci

0{,}6 = \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5}

1{,}(4) = 1\tfrac{4}{9}

\begin{aligned}1{,}(4) &= 1 + 0{,}(4) \\10 \cdot 0{,}(4) &= 4{,}(4) \\9 \cdot 0{,}(4) &= 4 \\0{,}(4) &= \tfrac{4}{9}\end{aligned}

1{,}(24) = 1\tfrac{8}{33}

\begin{aligned}1{,}(24) &= 1 + 0{,}(24) \\100 \cdot 0{,}(24) &= 24{,}(24) \\99 \cdot 0{,}(24) &= 24 \\0{,}(24) &= \tfrac{24}{99} = \tfrac{8}{33}\end{aligned}

-7{,}3 = -\tfrac{73}{10} = -7\tfrac{3}{10}

Potęgi

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{4}

Czwórka to wykładnik.

Dziesiątka to podstawa.

Mnożenie potęg i dodawanie wykładników

2^{4} \cdot 2^{3} = 2^{4+3} = 2^{7}

3^{4} \cdot 5^{4} = (3 \cdot 5)^{4} = 15^{4}

8^{3} \cdot 8^{5} = 8^{3+5} = 8^{8}

2^{3} \cdot 4^{3} = (2 \cdot 4)^{3} = 8^{3}

Dzielenie potęg i odejmowanie wykładników

5^{6} : 5^{2} = 5^{6-2} = 5^{4}

12^{7} : 12^{3} = 12^{7-3} = 12^{4}

Wykładnik zerowy

1 = 3^{1} : 3^{1} = 3^{1-1} = 3^{0}

Zatem każda liczba podniesiona do potęgi zerowej równa się jeden.

Potęgi o wykładniku ujemnym

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy.

6^{-2} = \tfrac{1}{6^{2}} = \tfrac{1}{36}

3^{-5} = \tfrac{1}{3^{5}} = \tfrac{1}{243}

Potęgowanie potęgi

(5^{2})^{3} = 5^{2 \cdot 3} = 5^{6}

(4^{2})^{4} = 4^{2 \cdot 4} = 4^{8}

(5^{2})^{3} \neq 5^{(2^{3})}

5^{6} \neq 5^{8}

Najczęstsze pytania

Jak mnożyć potęgi o tej samej podstawie?

Dodajemy wykładniki, a podstawę zostawiamy bez zmian. Na przykład 2⁴ · 2³ = 2⁷. Przy dzieleniu wykładniki odejmujemy.

Dlaczego liczba do potęgi zerowej równa się jeden?

Bo dzieląc potęgę przez samą siebie, otrzymujemy jeden, a odejmując wykładniki, otrzymujemy zero. Zatem 3¹ : 3¹ to jednocześnie 1 i 3⁰.

Co oznacza ujemny wykładnik?

Odwrotność podstawy podniesioną do wykładnika dodatniego. Zapis 6⁻² znaczy 1 podzielone przez 6², czyli jedną trzydziestą szóstą.

Czy (5²)³ to to samo co 5^(2³)?

Nie. W pierwszym przypadku wykładniki mnożymy i wychodzi 5⁶, w drugim najpierw liczymy 2³, czyli 8, i wychodzi 5⁸. To dwie różne liczby.

← Poprzednia

Ułamki dziesiętne, zaokrąglanie i rozwinięcia okresowe

Następna →

Pierwiastki, wykładniki ułamkowe i notacja naukowa