Od zera do inżyniera

Pierwiastki, wykładniki ułamkowe i notacja naukowa

Pierwiastek jako potęga o wykładniku ułamkowym, mnożenie i dzielenie przez potęgi dziesiątki, kolejność działań oraz zapis liczb w notacji naukowej wraz z działaniami na nich.

Wykładnik nie musi być liczbą całkowitą. Gdy jest ułamkiem, potęga staje się pierwiastkiem - i to jedno spostrzeżenie pozwala liczyć pierwiastki tymi samymi prawami co potęgi. Druga połowa lekcji to notacja naukowa: sposób zapisu, dzięki któremu bardzo duże i bardzo małe liczby mieszczą się w jednej linijce.

Wykładniki ułamkowe i pierwiastki

Pierwiastki można zapisać jako potęgi o wykładnikach ułamkowych (wymiernych).

8^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2

6^{\tfrac{1}{5}} = \sqrt[5]{6} = 1{,}431

4^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{4} = \pm 2

81^{\tfrac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \pm 3

(-32)^{\tfrac{1}{5}} = \sqrt[5]{-32} = -2

16^{\tfrac{1}{7}} = \sqrt[7]{16} = 1{,}486

8^{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2{,}828

19^{\tfrac{1}{4}} = \sqrt[4]{19} = \pm 2{,}088

\sqrt{-4}

pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje (w zbiorze liczb rzeczywistych)

Mnożenie i dzielenie liczb przez potęgi dziesiątki

0{,}012045 \cdot 10^{4} = 120{,}45

cztery miejsca w prawo

13{,}5074 \cdot 10^{-3} = 0{,}0135074

trzy miejsca w lewo

144{,}032 : 10^{5} = 144{,}032 \cdot 10^{-5} = 0{,}00144032

pięć miejsc w lewo

0{,}012045 : 10^{-2} = 0{,}012045 \cdot 10^{2} = 1{,}2045

dwa miejsca w prawo

Kolejność działań

potęgowanie → mnożenie / dzielenie → dodawanie / odejmowanie

5(3 \cdot 4^{2} : 6 - 7) = 5(3 \cdot 16 : 6 - 7) = 5(48 : 6 - 7) = 5(8 - 7) = 5

Notacja naukowa

Liczba dziesiętna z przedziału ⟨1, 10), zwana mantysą, pomnożona przez dziesiątkę podniesioną do odpowiedniej potęgi.

0{,}000485 = 4{,}85 \cdot 10^{-4}

423{,}8 = 4{,}238 \cdot 10^{2}

52\,674 = 5{,}2674 \cdot 10^{4}

0{,}00723 = 7{,}23 \cdot 10^{-3}

0{,}0582 = 5{,}82 \cdot 10^{-2}

1\,523\,800 = 1{,}523800 \cdot 10^{6}

Mnożenie i dzielenie liczb w notacji naukowej

\begin{aligned}\text{a)}\quad 472{,}3 \cdot 0{,}000564 &= (4{,}723 \cdot 10^{2}) \cdot (5{,}64 \cdot 10^{-4}) \\&= 26{,}6377 \cdot 10^{-2} \\&= 2{,}66377 \cdot 10 \cdot 10^{-2} \\&= 2{,}6638 \cdot 10^{-1}\end{aligned}

z dokładnością do czterech miejsc po przecinku

\begin{aligned}\text{b)}\quad 752\,000 : 0{,}862 &= (7{,}52 \cdot 10^{5}) : (8{,}62 \cdot 10^{-1}) \\&= 0{,}87238 \cdot 10^{5} : 10^{-1} \\&= 0{,}87239 \cdot 10^{6} \\&= 8{,}7239 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{6} \\&= 8{,}7239 \cdot 10^{5}\end{aligned}

10^{5} \cdot 10^{1}

dzielenie przez 10⁻¹ to mnożenie przez 10¹

z dokładnością do czterech miejsc po przecinku

Dodawanie i odejmowanie liczb w notacji naukowej

\begin{aligned}\text{a)}\quad 43{,}6 \cdot 10^{2} + 8{,}12 \cdot 10^{3} &= 4{,}36 \cdot 10^{3} + 8{,}12 \cdot 10^{3} \\&= (4{,}36 + 8{,}12) \cdot 10^{3} \\&= 12{,}48 \cdot 10^{3} \\&= 1{,}248 \cdot 10^{4}\end{aligned}

\begin{aligned}\text{b)}\quad 7{,}84 \cdot 10^{5} - 12{,}36 \cdot 10^{3} &= 7{,}84 \cdot 10^{5} - 0{,}1236 \cdot 10^{5} \\&= (7{,}84 - 0{,}1236) \cdot 10^{5} \\&= 7{,}7164 \cdot 10^{5}\end{aligned}

\begin{aligned}\text{c)}\quad 4{,}25 \cdot 10^{-3} + 1{,}74 \cdot 10^{-2} &= 0{,}425 \cdot 10^{-2} + 1{,}74 \cdot 10^{-2} \\&= 2{,}165 \cdot 10^{-2}\end{aligned}

Najczęstsze pytania

Jak zamienić pierwiastek na potęgę?

Stopień pierwiastka trafia do mianownika wykładnika. Pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu to osiem do potęgi jedna trzecia, a pierwiastek czwartego stopnia z osiemdziesięciu jeden to osiemdziesiąt jeden do potęgi jedna czwarta.

Dlaczego pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje?

W zbiorze liczb rzeczywistych każdy kwadrat jest nieujemny, więc żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da minus czterech. Przy pierwiastku nieparzystego stopnia problem znika - pierwiastek piątego stopnia z minus trzydziestu dwóch wynosi minus dwa.

Czym jest notacja naukowa?

Zapisem liczby jako mantysy z przedziału od jedynki włącznie do dziesiątki, pomnożonej przez dziesiątkę w odpowiedniej potędze. Na przykład 0,000485 to 4,85 razy dziesięć do potęgi minus czwartej.

Jak dodawać liczby zapisane w notacji naukowej?

Najpierw sprowadzamy oba składniki do tej samej potęgi dziesiątki, potem dodajemy same mantysy, a na koniec wracamy do postaci z mantysą mniejszą od dziesiątki.

← Poprzednia

Potęgi: mnożenie, dzielenie i wykładniki ujemne

Następna →

Notacja inżynierska i dokładność obliczeń