Egzamin ósmoklasistyArkusz nr 481 780GrupaA BUkładam strony…

Układam strony arkusza…

phiboard.comArkusz nr 481 780 · Grupa AStrona 12 z 12

phiboard.comArkusz nr 481 780 · Grupa A · dla nauczycielaKlucz, strona 1 z 2

Arkusz nr481 780wygenerowano 04.10.2026

GrupaA

Matematyka

Egzamin sprawdzający wiedzę w 8. klasie

Materiał szkoleniowy PhiBoard. To nie jest oficjalny materiał CKE.

Czas pracy

125minut

Zadania

2014 zamkniętych
6 otwartych

Punkty

3014 za zamknięte
16 za otwarte

Przybory

długopis i linijka
bez kalkulatora i karty wzorów

Imię i nazwisko

Klasa

Data

Wynik/ 30 pkt

Instrukcja

Sprawdź, czy arkusz ma 12 stron (zadania 1-20 i brudnopis).
Pisz długopisem z czarnym tuszem. Nie używaj korektora.
W zadaniach 1-14 zaznacz odpowiedzi, otaczając kółkiem wybrane litery albo P lub F.
Jeśli się pomylisz, przekreśl błędną odpowiedź i zaznacz inną.
Rozwiązania zadań 15-20 zapisz w wyznaczonych miejscach, razem z obliczeniami.

Zadanie 1.

0-1 pkt

Na diagramie przedstawiono, ile kilometrów przejechała grupa rowerzystów w kolejnych dniach czterodniowego rajdu.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

1.	Od drugiego do czwartego dnia rowerzyści przejechali łącznie 105 km.	P	F
2.	Drugiego dnia rowerzyści przejechali o 60% więcej kilometrów niż pierwszego dnia.	P	F

Zadanie 2.

0-1 pkt

Ola chodzi na basen co 8 dni, a jej brat Kuba - co 12 dni. Dzisiaj Ola i Kuba byli na basenie razem.

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Za ile dni Ola i Kuba po raz pierwszy znowu będą na basenie tego samego dnia?

A. za 20 dniB. za 96 dniC. za 24 dniD. za 4 dni

Zadanie 3.

0-1 pkt

Dane są liczby: a = 9⁸, b = 27⁴, c = 3¹⁴.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdziwa jest nierówność

A. c < a < bB. a < c < bC. b < a < cD. b < c < a

Zadanie 4.

0-1 pkt

Uzupełnij zdanie. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia √144 + 81 jest równa A. 15B. 21, a wartość wyrażenia 3 · 3√64 jest równa C. 12D. 24.

Zadanie 5.

0-1 pkt

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, w których iloczyn cyfr jest równy 9?

A. 2B. 3C. 4D. 9

Zadanie 6.

0-1 pkt

Tomek kupił 2 bułki i 5 rogalików. Rogalik jest 3 razy droższy od bułki. Cenę jednej bułki (w złotych) oznaczono przez x.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Koszt tych zakupów w złotych opisuje wyrażenie

A. 11xB. 4xC. 7x + 15D. 17x

Zadanie 7.

0-1 pkt

W skrzynce są jabłka, gruszki i śliwki - razem 270 owoców. Liczby jabłek, gruszek i śliwek są w stosunku 7 : 2 : 6.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba jabłek w skrzynce jest równa A. 18B. 126. Śliwek jest C. 3D. 4 razy więcej niż gruszek.

Zadanie 8.

0-1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono liczby 10 i 22 oraz punkty K i L (zobacz rysunek). Odległości między sąsiednimi kreskami na osi są jednakowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punktowi K odpowiada liczba

A. 6B. 9C. 7,6D. 8

Zadanie 9.

0-1 pkt

W tabeli podano liczbę biletów sprzedanych w kinie w pięciu kolejnych dniach - od poniedziałku do piątku.

Dzień	poniedziałek	wtorek	środa	czwartek	piątek
Liczba biletów	30	75	45	25	80

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia liczba biletów sprzedanych w ciągu jednego dnia jest równa

A. 45B. 42,5C. 51D. 52,5

Zadanie 10.

0-1 pkt

Bartek przebiegł trasę długości 12 km w ciągu 1 godziny i 20 minut.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia prędkość, z jaką biegł Bartek, była równa

A. 10 km/hB. 15 km/hC. 9 km/hD. 12 km/h

Zadanie 11.

0-1 pkt

Proste a i b są równoległe. Prosta c przecina je tak, że jeden z kątów przy prostej b ma miarę 125°. Przy prostej a zaznaczono kąty α i β (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

1.	Kąt α ma miarę 125°.	P	F
2.	Kąt β ma miarę 125°.	P	F

Zadanie 12.

0-1 pkt

Przekątna AC rombu ABCD ma długość 24 cm, a przekątna BD ma długość 18 cm (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód tego rombu jest równy

A. 15 cmB. 60 cmC. 84 cmD. 120 cm

Zadanie 13.

0-1 pkt

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty A = (−4, 2), B = (−1, −4) i C = (0, −2) (zobacz rysunek). Punkty A, B i C są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek D tego równoległoboku ma współrzędne

A. (−5, 0)B. (3, 4)C. (4, −3)D. (−3, 4)

Zadanie 14.

0-1 pkt

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 96 cm².

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego sześcianu jest równa

A. 12 cm³B. 16 cm³C. 384 cm³D. 64 cm³

Zadanie 15.

0-2 pkt

Cena biletu miesięcznego zmieniała się w ubiegłym roku dwa razy. W marcu cenę biletu obniżono o 20%, a we wrześniu nową cenę podwyższono o 50%.

Uzasadnij, że po obu zmianach cena biletu jest wyższa niż przed pierwszą zmianą.

Zadanie 16.

0-3 pkt

Na szkolnym festynie rozegrano konkurs strzelania z łuku do tarczy. Każdy zawodnik oddawał 29 strzałów. Za każdy celny strzał zawodnik otrzymywał 10 punktów, a za każdy niecelny strzał tracił 2 punkty. Każdy zawodnik zaczynał konkurs z wynikiem 0 punktów. Ola oddała wszystkie strzały i uzyskała łącznie 182 punkty.

Oblicz, ile niecelnych strzałów oddała Ola. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: liczba niecelnych strzałów jest równa .

Zadanie 17.

0-3 pkt

W sklepie ten sam sok jabłkowy jest sprzedawany w dwóch zestawach. W zestawie I są 3 kartony o pojemności 500 ml każdy. Ten zestaw kosztuje 10,50 zł. W zestawie II jest 10 kartonów o pojemności 300 ml każdy. Ten zestaw kosztuje 23,70 zł.

W którym zestawie cena jednego litra soku jest niższa? Oblicz, o ile złotych jest niższa. Zapisz obliczenia.

Zadanie 18.

0-2 pkt

Z kawałka drutu o długości 44 cm zrobiono szkielet graniastosłupa prawidłowego czworokątnego - drut wykorzystano w całości na krawędzie bryły. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 3 cm.

Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: objętość graniastosłupa jest równa cm³.

Zadanie 19.

0-3 pkt

W trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD kąty przy wierzchołkach B i C są proste, a kąt DAB ma miarę 45° (zobacz rysunek). Podstawa AB jest trzy razy dłuższa od podstawy CD. Podstawa AB ma długość 15 cm.

Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: pole trapezu jest równe cm².

Zadanie 20.

0-3 pkt

Trójkąt ABC jest równoramienny: bok AB jest jego podstawą, a boki AC i BC - ramionami równej długości (zobacz rysunek). Obwód tego trójkąta jest równy 32 cm. Długość każdego z ramion jest o 2 cm mniejsza od długości podstawy AB.

Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: pole trójkąta jest równe cm².

phiboard.comArkusz nr 481 780 · Grupa AStrona 1 z 12

Arkusz nr481 780klucz dla nauczyciela

GrupaA

Klucz odpowiedzi i zasady oceniania

Egzamin sprawdzający wiedzę w 8. klasie · matematyka · 30 pkt

Tylko dla nauczyciela - „Generuj PDF” pomija tę stronę. Numer 481 780 odtwarza ten arkusz (wersja generatora: 6).

Zadania zamknięte - po 1 pkt

Zadanie	Odpowiedź	Uwagi
1	F, P	1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: 40 + 65 + 45 = 150. Zdanie jest fałszywe. Zdanie 2: 40 − 25 = 15 oraz 15 : 25 = 0,6, czyli o 60% więcej.
2	C	Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 8 i 12. Kolejne wielokrotności liczby 12: 12, 24. Pierwsza z nich, która dzieli się przez 8, to 24, bo 24 = 3 · 8. Ola i Kuba znowu spotkają się na basenie za 24 dni.
3	D	Zapisujemy liczby jako potęgi liczby 3: 9⁸ = (3²)⁸ = 3¹⁶, 27⁴ = (3³)⁴ = 3¹². Wykładniki: 12 < 14 < 16, więc 27⁴ < 3¹⁴ < 9⁸.
4	A, C	1 pkt za oba poprawne wybory: Najpierw działanie pod pierwiastkiem: √144 + 81 = √225 = 15. Stąd wartość wyrażenia jest równa 15. Pierwiastek sześcienny: 3√64 = 4, bo 4³ = 64. Stąd 3 · 4 = 12.
5	B	Te liczby to: 19, 33, 91. Jest ich 3.
6	D	Rogalik kosztuje 3x złotych. Za 2 bułki trzeba zapłacić 2x złotych, a za 5 rogalików: 5 · 3x = 15x złotych. Razem: 2x + 15x = 17x.
7	B, C	1 pkt za oba poprawne wybory: Wszystkich części jest 7 + 2 + 6 = 15, a na jedną część przypada 270 : 15 = 18. Jabłek jest więc 7 · 18 = 126. Liczby 6 i 2 w stosunku: 6 : 2 = 3.
8	D	Między liczbami 10 i 22 jest 6 równych odstępów, więc jedna działka to (22 − 10) : 6 = 2. Punkt K leży 1 działkę na lewo od liczby 10, więc odpowiada mu liczba 10 − 1 · 2 = 8.
9	C	Suma wartości: 30 + 75 + 45 + 25 + 80 = 255. Średnia: 255 : 5 = 51.
10	C	Czas: 1 h 20 min = 1 · 60 + 20 = 80 min. W ciągu 80 min pokonano 12 km, więc w ciągu 60 min - 12 · 60 : 80 = 9 km. Średnia prędkość jest więc równa 9 km/h.
11	P, P	1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: kąt odpowiadający kątowi o mierze 125° leży przy prostej a w takim samym położeniu i - bo proste a i b są równoległe - też ma 125°. Kąt α jest do niego wierzchołkowy, więc ma 125°. Zdanie 2: kąt β i kąt o mierze 125° to kąty odpowiadające przy prostych równoległych, więc kąt β ma 125°.
12	B	Połowy przekątnych mają długości 12 cm i 9 cm. Z twierdzenia Pitagorasa a² = 12² + 9² = 225, więc bok rombu ma długość a = 15 cm. Obwód jest równy 4 · 15 = 60 cm.
13	D	W równoległoboku ABCD bok CD jest równoległy do boku BA i tak samo długi, więc z punktu C do punktu D przesuwamy się tak samo jak z punktu B do punktu A: o −4 − (−1) = −3 w poziomie i o 2 − (−4) = 6 w pionie. Stąd 0 + (−3) = −3 i −2 + 6 = 4, więc punkt D ma współrzędne (−3, 4).
14	D	Jedna ściana ma pole 96 : 6 = 16 cm², więc krawędź sześcianu ma długość 4 cm. Objętość: 4³ = 64 cm³.

Zadania otwarte

Zadanie 15. (0-2 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: oznaczmy przez x cenę biletu przed pierwszą zmianą (w złotych), x > 0. Po obniżce o 20% cena biletu stanowi 80% ceny początkowej: 0,8x. Po podwyżce o 50% cena biletu stanowi 150% ceny z marca: 1,5 · 0,8x = 1,2x. Liczba x jest dodatnia, więc 1,2x > x. To znaczy, że po obu zmianach cena biletu jest wyższa niż przed pierwszą zmianą.

2 pktzapisanie poprawnego wyrażenia algebraicznego jednej zmiennej opisującego cenę biletu po obu zmianach w zależności od ceny przed pierwszą zmianą, prawidłowe obliczenia i poprawne uzasadnienie, że po obu zmianach cena biletu jest wyższa niż przed pierwszą zmianą, np. zapisanie 1,5 · 0,8x = 1,2x oraz 1,2x > x.
1 pktzapisanie poprawnego wyrażenia algebraicznego jednej zmiennej opisującego cenę biletu po obu zmianach w zależności od ceny przed pierwszą zmianą, np. 1,5 · 0,8x albo 0,8x + 0,5 · 0,8x, gdzie x to cena biletu przed pierwszą zmianą.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Jeżeli uczeń uzasadnia stwierdzenie tylko na wybranych, konkretnych liczbach (zamiast dla dowolnej wielkości początkowej), to otrzymuje 0 pkt.

Graficzne przedstawienie poprawnej zależności (np. na odcinkach podzielonych na równe części) ocenia się tak jak poprawne wyrażenie algebraiczne.

Zadanie 16. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: x - liczba celnych strzałów, 29 − x - liczba niecelnych strzałów, 10x - liczba punktów uzyskanych za celne strzały, 2(29 − x) - liczba punktów straconych za niecelne strzały. Ola uzyskała łącznie 182 punkty, więc: 10x − 2(29 − x) = 182, 10x − 58 + 2x = 182, 12x − 58 = 182, 12x = 240, x = 20. Liczba niecelnych strzałów: 29 − 20 = 9. Sprawdzenie: 10 · 20 − 2 · 9 = 182.

3 pktpoprawny sposób obliczenia liczby niecelnych strzałów, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik (9); albo metoda prób i błędów: sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych zestawów dwóch liczb, wśród których jest zestaw poprawny (20, 9), prawidłowe obliczenia i wskazanie wyniku (9).
2 pktzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, np. 10x − 2(29 − x) = 182; albo metoda prób i błędów: sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych zestawów dwóch liczb, wśród których jest zestaw poprawny (20, 9), bez wskazania wyniku.
1 pktzapisanie poprawnych wyrażeń tej samej zmiennej opisujących liczbę punktów uzyskanych za celne strzały oraz liczbę punktów straconych za niecelne strzały, np. 10x i 2(29 − x); albo metoda prób i błędów: sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych zestawów dwóch liczb, wśród których nie ma zestawu poprawnego.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Jeżeli uczeń rozwiązuje zadanie przez próbowanie i sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu liczb (20, 9) i nie popełnia błędów rachunkowych, to otrzymuje 1 pkt; jeżeli popełnia błędy rachunkowe - 0 pkt.

Zadanie 17. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: zestaw I: 3 · 500 = 1500, więc w zestawie jest 1500 ml, czyli 1,5 l soku. Cena jednego litra: 10,50 : 1,5 = 7 zł. Zestaw II: 10 · 300 = 3000, więc w zestawie jest 3000 ml, czyli 3 l soku. Cena jednego litra: 23,70 : 3 = 7,90 zł. 7 < 7,90, więc cena jednego litra soku jest niższa w zestawie I. Różnica cen: 7,90 − 7 = 0,90 zł.

3 pktpoprawny sposób obliczenia ceny jednego litra soku w obu zestawach, prawidłowe obliczenia, prawidłowe wyniki (zestaw I: 7 zł, zestaw II: 7,90 zł) i wniosek, że cena jednego litra jest niższa w zestawie I - o 0,90 zł.
2 pktpoprawny sposób obliczenia ceny jednego litra soku w obu zestawach, np. zapisanie 10,50 : (3 · 0,5) oraz 23,70 : (10 · 0,3), albo obliczenie ceny jednego litra w jednym z zestawów (zestaw I: 7 zł albo zestaw II: 7,90 zł).
1 pktpoprawny sposób obliczenia ceny jednego litra soku w jednym z zestawów, np. zapisanie 10,50 : (3 · 0,5) albo 23,70 : (10 · 0,3).
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Nie ocenia się stosowania jednostek. Błąd w zamianie jednostek traktuje się jako błąd rachunkowy.

Uczeń może porównywać ceny innej ilości soku, takiej samej dla obu zestawów (np. 100 ml albo 3 l). Do pełnego rozwiązania potrzebna jest jednak różnica cen jednego litra.

Zadanie 18. (0-2 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: graniastosłup ma 8 krawędzi podstaw, każda o długości 3 cm, i 4 krawędzie boczne o długości równej wysokości H. Stąd 8 · 3 + 4H = 44, czyli 4H = 44 − 24 = 20, więc H = 5 cm. Objętość: 3² · 5 = 9 · 5 = 45 cm³.

2 pktpoprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik (45 cm³).
1 pktpoprawny sposób obliczenia wysokości graniastosłupa, np. zapisanie 8 · 3 + 4H = 44, gdzie H to wysokość graniastosłupa, albo (44 − 8 · 3) : 4.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Nie ocenia się stosowania jednostki.

Zadanie 19. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: poprowadźmy wysokość DE trapezu. Czworokąt EBCD jest prostokątem, więc |EB| = |CD| i |DE| = |BC|. Trójkąt AED jest prostokątny i ma kąt 45° przy wierzchołku A, więc jego drugi kąt ostry też ma 45°. Ten trójkąt jest równoramienny: |AE| = |DE|. |CD| = 15 : 3 = 5 cm, więc |AE| = |AB| − |EB| = 15 − 5 = 10 cm. Wysokość trapezu: |DE| = |AE| = 10 cm. Pole trapezu: (15 + 5) · 10 : 2 = 100 cm².

3 pktpoprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (100 cm²).
2 pktpoprawny sposób obliczenia pola trapezu, np. zapisanie (15 + 5) · 10 : 2, albo ustalenie długości obu podstaw i wysokości trapezu bez pokazania sposobu, np. zapisanie na rysunku |AB| = 15, |CD| = 5, |DE| = 10.
1 pktpoprawny sposób obliczenia wysokości trapezu albo długości odcinka AE z wykorzystaniem tego, że trójkąt AED (E - spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka D) jest prostokątny i równoramienny, np. zapisanie |DE| = |AE| oraz |AE| = 15 − 15 : 3, albo ustalenie tych długości bez pokazania sposobu, np. zapisanie na rysunku |AE| = |DE| = 10.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Nie ocenia się stosowania jednostki.

Nie akceptuje się rozwiązań opartych na pomiarze, np. linijką.

Zadanie 20. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: oznaczmy przez x długość podstawy AB (w cm). Każde z ramion ma wtedy długość x − 2. Obwód trójkąta: x + 2(x − 2) = 32, czyli 3x − 4 = 32, 3x = 36, x = 12. Podstawa ma długość 12 cm, a ramię: 12 − 2 = 10 cm. Poprowadźmy wysokość CD na podstawę AB. W trójkącie równoramiennym dzieli ona podstawę na połowy: |AD| = 12 : 2 = 6 cm. Trójkąt ADC jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa: |CD|² = 10² − 6² = 64, więc |CD| = 8 cm. Pole trójkąta: 12 · 8 : 2 = 48 cm².

3 pktpoprawny sposób obliczenia pola trójkąta, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (48 cm²).
2 pktpoprawny sposób wyznaczenia długości boków trójkąta oraz poprawny sposób obliczenia wysokości opuszczonej na podstawę, np. zapisanie x + 2(x − 2) = 32 oraz |CD|² + 6² = 10² (D - środek podstawy AB).
1 pktzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, z którego można wyznaczyć długości boków trójkąta, np. x + 2(x − 2) = 32, albo inny poprawny sposób wyznaczenia długości boków, np. obliczenie długości podstawy jako (32 + 2 · 2) : 3.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Jeżeli uczeń wyznacza długości boków metodą prób i błędów, to ten etap uznaje się za wykonany poprawnie tylko wtedy, gdy uczeń sprawdził, że długości 12 cm, 10 cm i 10 cm spełniają oba warunki zadania: obwód 32 cm oraz ramię o 2 cm krótsze od podstawy.

Nie ocenia się stosowania jednostki.

Nie akceptuje się rozwiązań opartych na pomiarze, np. linijką.

Uwagi ogólne do zadań otwartych

W każdym zadaniu otwartym poprawne rozwiązanie inną metodą daje pełną liczbę punktów.

Punkty za kolejny etap rozwiązania przyznaje się tylko wtedy, gdy wcześniejsze etapy uczeń rozwiązał poprawnym sposobem.

Jeżeli uczeń stosuje poprawne sposoby i doprowadza rozwiązanie do końca, ale popełnia błędy rachunkowe (albo błędnie przepisuje daną), to otrzymuje o 1 pkt mniej, niż wynosi maksymalna liczba punktów za zadanie.

Jeżeli uczeń zapisuje kilka sprzecznych rozwiązań i nie wskazuje właściwego, to otrzymuje punkty tylko za poprawne etapy, które je poprzedzają.

Sam poprawny wynik albo sama odpowiedź, bez obliczeń, nie daje punktów.

phiboard.comArkusz nr 481 780 · Grupa A · dla nauczycielaKlucz, strona 1 z 2

Arkusz nr481 780wygenerowano 04.10.2026

GrupaB

Matematyka

Egzamin sprawdzający wiedzę w 8. klasie

Materiał szkoleniowy PhiBoard. To nie jest oficjalny materiał CKE.

Czas pracy

125minut

Zadania

2014 zamkniętych
6 otwartych

Punkty

3014 za zamknięte
16 za otwarte

Przybory

długopis i linijka
bez kalkulatora i karty wzorów

Imię i nazwisko

Klasa

Data

Wynik/ 30 pkt

Instrukcja

Sprawdź, czy arkusz ma 12 stron (zadania 1-20 i brudnopis).
Pisz długopisem z czarnym tuszem. Nie używaj korektora.
W zadaniach 1-14 zaznacz odpowiedzi, otaczając kółkiem wybrane litery albo P lub F.
Jeśli się pomylisz, przekreśl błędną odpowiedź i zaznacz inną.
Rozwiązania zadań 15-20 zapisz w wyznaczonych miejscach, razem z obliczeniami.

Zadanie 1.

0-1 pkt

Na diagramie przedstawiono, ile książek wypożyczono w szkolnej bibliotece w czterech kolejnych miesiącach.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

1.	W listopadzie i w grudniu wypożyczono łącznie 125 książek.	P	F
2.	W październiku i w listopadzie wypożyczono łącznie 50% wszystkich książek wypożyczonych w tych czterech miesiącach.	P	F

Zadanie 2.

0-1 pkt

Autobusy linii 7 odjeżdżają z przystanku przy szkole co 10 minut, a autobusy linii 11 - co 12 minut. O pewnej godzinie autobusy obu linii odjechały z tego przystanku jednocześnie.

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po ilu minutach autobusy obu linii po raz pierwszy znowu odjadą z tego przystanku jednocześnie?

A. po 22 minutachB. po 2 minutachC. po 120 minutachD. po 60 minutach

Zadanie 3.

0-1 pkt

Dane są liczby: a = 8³, b = 2¹¹, c = 4⁷.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdziwa jest nierówność

A. c < b < aB. b < c < aC. a < c < bD. a < b < c

Zadanie 4.

0-1 pkt

Uzupełnij zdanie. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia √144 + 81 jest równa A. 15B. 21, a wartość wyrażenia 15 − 3√27 jest równa C. 6D. 12.

Zadanie 5.

0-1 pkt

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry dziesiątek?

A. 3B. 13C. 7D. 6

Zadanie 6.

0-1 pkt

Ola kupiła 4 zeszyty i 2 długopisy. Długopis jest o 2 zł tańszy od zeszytu. Cenę jednego zeszytu (w złotych) oznaczono przez x.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Koszt tych zakupów w złotych opisuje wyrażenie

A. 6x − 4B. 6x + 4C. 6x − 2D. 2x − 2

Zadanie 7.

0-1 pkt

Pan Adam posadził w ogrodzie 198 sadzonek pomidorów, ogórków i papryki. Liczby sadzonek pomidorów, ogórków i papryki są w stosunku 1 : 3 : 7.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba sadzonek ogórków jest równa A. 18B. 54. Sadzonek ogórków jest C. 2D. 3 razy więcej niż sadzonek pomidorów.

Zadanie 8.

0-1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono liczby −3 i 0 oraz punkty K i L (zobacz rysunek). Odległości między sąsiednimi kreskami na osi są jednakowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punktowi K odpowiada liczba

A. −4,5B. −4C. −4,2D. −5

Zadanie 9.

0-1 pkt

W tabeli podano liczbę zadań rozwiązanych przez Hanię w pięciu kolejnych dniach - od poniedziałku do piątku.

Dzień	poniedziałek	wtorek	środa	czwartek	piątek
Liczba zadań	7	9	11	5	6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia liczba zadań rozwiązanych przez Hanię w ciągu jednego dnia jest równa

A. 8B. 11C. 7,6D. 9,5

Zadanie 10.

0-1 pkt

Pociąg pokonał trasę długości 216 km w ciągu 2 godzin i 40 minut.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia prędkość pociągu na tej trasie była równa

A. 108 km/hB. 90 km/hC. 81 km/hD. 135 km/h

Zadanie 11.

0-1 pkt

Proste a i b są równoległe. Prosta c przecina je tak, że jeden z kątów przy prostej b ma miarę 70°. Przy prostej a zaznaczono kąty α i β (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

1.	Kąt α ma miarę 110°.	P	F
2.	Kąt β ma miarę 70°.	P	F

Zadanie 12.

0-1 pkt

Płytka ceramiczna ma kształt rombu. Przekątne tego rombu mają długości 32 cm i 24 cm (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód płytki jest równy

A. 20 cmB. 80 cmC. 112 cmD. 160 cm

Zadanie 13.

0-1 pkt

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty A = (2, 1), B = (3, 3) i C = (2, 5) (zobacz rysunek). Punkty A, B i C są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek D tego równoległoboku ma współrzędne

A. (3, 1)B. (3, 7)C. (3, −1)D. (1, 3)

Zadanie 14.

0-1 pkt

Z drutu o długości 60 cm wykonano szkielet sześcianu. Wykorzystano cały drut.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

A. 25 cm²B. 150 cm²C. 600 cm²D. 100 cm²

Zadanie 15.

0-2 pkt

Cena biletu miesięcznego zmieniała się w ubiegłym roku dwa razy. W marcu cenę biletu obniżono o 10%, a we wrześniu nową cenę podwyższono o 20%.

Uzasadnij, że po obu zmianach cena biletu jest wyższa niż przed pierwszą zmianą.

Zadanie 16.

0-3 pkt

W szkolnej lidze tenisa stołowego nie ma remisów: każdy mecz kończy się wygraną albo przegraną. Za każdy wygrany mecz zawodnik otrzymuje 10 punktów, a za każdy przegrany mecz traci 2 punkty. Każdy zawodnik zaczyna sezon z wynikiem 0 punktów. Lena rozegrała w tym sezonie 25 meczów i uzyskała łącznie 22 punkty.

Oblicz, ile meczów Lena wygrała w tym sezonie. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: liczba wygranych meczów jest równa .

Zadanie 17.

0-3 pkt

W sklepie ta sama kawa mielona jest sprzedawana w dwóch zestawach. W zestawie I jest 6 paczek o masie 250 g każda. Ten zestaw kosztuje 109,50 zł. W zestawie II są 4 paczki o masie 500 g każda. Ten zestaw kosztuje 134 zł.

W którym zestawie cena jednego kilograma kawy jest niższa? Oblicz, o ile złotych jest niższa. Zapisz obliczenia.

Zadanie 18.

0-2 pkt

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 116 cm. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 10 cm.

Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: objętość graniastosłupa jest równa cm³.

Zadanie 19.

0-3 pkt

W trapezie prostokątnym ABCD o podstawach AB i CD kąty przy wierzchołkach A i D są proste, a kąt ABC ma miarę 45° (zobacz rysunek). Podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD. Podstawa CD ma długość 12 cm.

Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: pole trapezu jest równe cm².

Zadanie 20.

0-3 pkt

Trójkąt ABC jest równoramienny: bok AB jest jego podstawą, a boki AC i BC - ramionami równej długości (zobacz rysunek). Obwód tego trójkąta jest równy 18 cm. Długość każdego z ramion jest o 3 cm mniejsza od długości podstawy AB.

Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: pole trójkąta jest równe cm².

phiboard.comArkusz nr 481 780 · Grupa BStrona 1 z 12

Arkusz nr481 780klucz dla nauczyciela

GrupaB

Klucz odpowiedzi i zasady oceniania

Egzamin sprawdzający wiedzę w 8. klasie · matematyka · 30 pkt

Tylko dla nauczyciela - „Generuj PDF” pomija tę stronę. Numer 481 780 odtwarza ten arkusz (wersja generatora: 6).

Zadania zamknięte - po 1 pkt

Zadanie	Odpowiedź	Uwagi
1	F, P	1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: 55 + 75 = 130. Zdanie jest fałszywe. Zdanie 2: wszystkie słupki razem: 45 + 65 + 55 + 75 = 240. Słupki ze zdania: 65 + 55 = 120. 120 : 240 = 0,5, czyli 50%.
2	D	Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 10 i 12. Kolejne wielokrotności liczby 12: 12, 24, 36, 48, 60. Pierwsza z nich, która dzieli się przez 10, to 60, bo 60 = 6 · 10. Autobusy obu linii znowu odjadą jednocześnie po 60 minutach.
3	D	Zapisujemy liczby jako potęgi liczby 2: 8³ = (2³)³ = 2⁹, 4⁷ = (2²)⁷ = 2¹⁴. Wykładniki: 9 < 11 < 14, więc 8³ < 2¹¹ < 4⁷.
4	A, D	1 pkt za oba poprawne wybory: Najpierw działanie pod pierwiastkiem: √144 + 81 = √225 = 15. Stąd wartość wyrażenia jest równa 15. Pierwiastek sześcienny: 3√27 = 3, bo 3³ = 27. Stąd 15 − 3 = 12.
5	D	Te liczby to: 14, 25, 36, 47, 58, 69. Jest ich 6.
6	A	Długopis kosztuje x − 2 złotych. Za 4 zeszyty trzeba zapłacić 4x złotych, a za 2 długopisy: 2(x − 2) = 2x − 4 złotych. Razem: 4x + 2x − 4 = 6x − 4.
7	B, D	1 pkt za oba poprawne wybory: Wszystkich części jest 1 + 3 + 7 = 11, a na jedną część przypada 198 : 11 = 18. Sadzonek ogórków jest więc 3 · 18 = 54. Liczby 3 i 1 w stosunku: 3 : 1 = 3.
8	B	Między liczbami −3 i 0 jest 6 równych odstępów, więc jedna działka to (0 − (−3)) : 6 = 0,5. Punkt K leży 2 działki na lewo od liczby −3, więc odpowiada mu liczba −3 − 2 · 0,5 = −4.
9	C	Suma wartości: 7 + 9 + 11 + 5 + 6 = 38. Średnia: 38 : 5 = 7,6.
10	C	Czas: 2 h 40 min = 2 · 60 + 40 = 160 min. W ciągu 160 min pokonano 216 km, więc w ciągu 60 min - 216 · 60 : 160 = 81 km. Średnia prędkość jest więc równa 81 km/h.
11	F, P	1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: kąt odpowiadający kątowi o mierze 70° leży przy prostej a w takim samym położeniu i - bo proste a i b są równoległe - też ma 70°. Kąt α jest do niego wierzchołkowy, więc ma 70°. Zdanie jest fałszywe. Zdanie 2: kąt β i kąt o mierze 70° to kąty odpowiadające przy prostych równoległych, więc kąt β ma 70°.
12	B	Połowy przekątnych mają długości 16 cm i 12 cm. Z twierdzenia Pitagorasa a² = 16² + 12² = 400, więc bok rombu ma długość a = 20 cm. Obwód jest równy 4 · 20 = 80 cm.
13	D	W równoległoboku ABCD bok CD jest równoległy do boku BA i tak samo długi, więc z punktu C do punktu D przesuwamy się tak samo jak z punktu B do punktu A: o 2 − 3 = −1 w poziomie i o 1 − 3 = −2 w pionie. Stąd 2 + (−1) = 1 i 5 + (−2) = 3, więc punkt D ma współrzędne (1, 3).
14	B	Sześcian ma 12 krawędzi równej długości, więc krawędź ma długość 60 : 12 = 5 cm. Pole powierzchni całkowitej: 6 · 5² = 6 · 25 = 150 cm².

Zadania otwarte

Zadanie 15. (0-2 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: oznaczmy przez x cenę biletu przed pierwszą zmianą (w złotych), x > 0. Po obniżce o 10% cena biletu stanowi 90% ceny początkowej: 0,9x. Po podwyżce o 20% cena biletu stanowi 120% ceny z marca: 1,2 · 0,9x = 1,08x. Liczba x jest dodatnia, więc 1,08x > x. To znaczy, że po obu zmianach cena biletu jest wyższa niż przed pierwszą zmianą.

2 pktzapisanie poprawnego wyrażenia algebraicznego jednej zmiennej opisującego cenę biletu po obu zmianach w zależności od ceny przed pierwszą zmianą, prawidłowe obliczenia i poprawne uzasadnienie, że po obu zmianach cena biletu jest wyższa niż przed pierwszą zmianą, np. zapisanie 1,2 · 0,9x = 1,08x oraz 1,08x > x.
1 pktzapisanie poprawnego wyrażenia algebraicznego jednej zmiennej opisującego cenę biletu po obu zmianach w zależności od ceny przed pierwszą zmianą, np. 1,2 · 0,9x albo 0,9x + 0,2 · 0,9x, gdzie x to cena biletu przed pierwszą zmianą.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Jeżeli uczeń uzasadnia stwierdzenie tylko na wybranych, konkretnych liczbach (zamiast dla dowolnej wielkości początkowej), to otrzymuje 0 pkt.

Graficzne przedstawienie poprawnej zależności (np. na odcinkach podzielonych na równe części) ocenia się tak jak poprawne wyrażenie algebraiczne.

Zadanie 16. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: x - liczba wygranych meczów, 25 − x - liczba przegranych meczów, 10x - liczba punktów uzyskanych za wygrane mecze, 2(25 − x) - liczba punktów straconych za przegrane mecze. Lena uzyskała łącznie 22 punkty, więc: 10x − 2(25 − x) = 22, 10x − 50 + 2x = 22, 12x − 50 = 22, 12x = 72, x = 6. Liczba przegranych meczów: 25 − 6 = 19. Sprawdzenie: 10 · 6 − 2 · 19 = 22.

3 pktpoprawny sposób obliczenia liczby wygranych meczów, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik (6); albo metoda prób i błędów: sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych zestawów dwóch liczb, wśród których jest zestaw poprawny (6, 19), prawidłowe obliczenia i wskazanie wyniku (6).
2 pktzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, np. 10x − 2(25 − x) = 22; albo metoda prób i błędów: sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych zestawów dwóch liczb, wśród których jest zestaw poprawny (6, 19), bez wskazania wyniku.
1 pktzapisanie poprawnych wyrażeń tej samej zmiennej opisujących liczbę punktów uzyskanych za wygrane mecze oraz liczbę punktów straconych za przegrane mecze, np. 10x i 2(25 − x); albo metoda prób i błędów: sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych zestawów dwóch liczb, wśród których nie ma zestawu poprawnego.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Jeżeli uczeń rozwiązuje zadanie przez próbowanie i sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu liczb (6, 19) i nie popełnia błędów rachunkowych, to otrzymuje 1 pkt; jeżeli popełnia błędy rachunkowe - 0 pkt.

Zadanie 17. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: zestaw I: 6 · 250 = 1500, więc w zestawie jest 1500 g, czyli 1,5 kg kawy. Cena jednego kilograma: 109,50 : 1,5 = 73 zł. Zestaw II: 4 · 500 = 2000, więc w zestawie jest 2000 g, czyli 2 kg kawy. Cena jednego kilograma: 134 : 2 = 67 zł. 67 < 73, więc cena jednego kilograma kawy jest niższa w zestawie II. Różnica cen: 73 − 67 = 6 zł.

3 pktpoprawny sposób obliczenia ceny jednego kilograma kawy w obu zestawach, prawidłowe obliczenia, prawidłowe wyniki (zestaw I: 73 zł, zestaw II: 67 zł) i wniosek, że cena jednego kilograma jest niższa w zestawie II - o 6 zł.
2 pktpoprawny sposób obliczenia ceny jednego kilograma kawy w obu zestawach, np. zapisanie 109,50 : (6 · 0,25) oraz 134 : (4 · 0,5), albo obliczenie ceny jednego kilograma w jednym z zestawów (zestaw I: 73 zł albo zestaw II: 67 zł).
1 pktpoprawny sposób obliczenia ceny jednego kilograma kawy w jednym z zestawów, np. zapisanie 109,50 : (6 · 0,25) albo 134 : (4 · 0,5).
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Nie ocenia się stosowania jednostek. Błąd w zamianie jednostek traktuje się jako błąd rachunkowy.

Uczeń może porównywać ceny innej ilości kawy, takiej samej dla obu zestawów (np. 100 g albo 2 kg). Do pełnego rozwiązania potrzebna jest jednak różnica cen jednego kilograma.

Zadanie 18. (0-2 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: graniastosłup ma 8 krawędzi podstaw, każda o długości 10 cm, i 4 krawędzie boczne o długości równej wysokości H. Stąd 8 · 10 + 4H = 116, czyli 4H = 116 − 80 = 36, więc H = 9 cm. Objętość: 10² · 9 = 100 · 9 = 900 cm³.

2 pktpoprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik (900 cm³).
1 pktpoprawny sposób obliczenia wysokości graniastosłupa, np. zapisanie 8 · 10 + 4H = 116, gdzie H to wysokość graniastosłupa, albo (116 − 8 · 10) : 4.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Nie ocenia się stosowania jednostki.

Zadanie 19. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: poprowadźmy wysokość CE trapezu. Czworokąt AECD jest prostokątem, więc |AE| = |CD| i |CE| = |AD|. Trójkąt EBC jest prostokątny i ma kąt 45° przy wierzchołku B, więc jego drugi kąt ostry też ma 45°. Ten trójkąt jest równoramienny: |EB| = |CE|. |AB| = 2 · 12 = 24 cm, więc |EB| = |AB| − |AE| = 24 − 12 = 12 cm. Wysokość trapezu: |CE| = |EB| = 12 cm. Pole trapezu: (24 + 12) · 12 : 2 = 216 cm².

3 pktpoprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (216 cm²).
2 pktpoprawny sposób obliczenia pola trapezu, np. zapisanie (24 + 12) · 12 : 2, albo ustalenie długości obu podstaw i wysokości trapezu bez pokazania sposobu, np. zapisanie na rysunku |AB| = 24, |CD| = 12, |CE| = 12.
1 pktpoprawny sposób obliczenia wysokości trapezu albo długości odcinka EB z wykorzystaniem tego, że trójkąt EBC (E - spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka C) jest prostokątny i równoramienny, np. zapisanie |CE| = |EB| oraz |EB| = 2 · 12 − 12, albo ustalenie tych długości bez pokazania sposobu, np. zapisanie na rysunku |EB| = |CE| = 12.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Nie ocenia się stosowania jednostki.

Nie akceptuje się rozwiązań opartych na pomiarze, np. linijką.

Zadanie 20. (0-3 pkt)

Przykładowe rozwiązanie: oznaczmy przez x długość podstawy AB (w cm). Każde z ramion ma wtedy długość x − 3. Obwód trójkąta: x + 2(x − 3) = 18, czyli 3x − 6 = 18, 3x = 24, x = 8. Podstawa ma długość 8 cm, a ramię: 8 − 3 = 5 cm. Poprowadźmy wysokość CD na podstawę AB. W trójkącie równoramiennym dzieli ona podstawę na połowy: |AD| = 8 : 2 = 4 cm. Trójkąt ADC jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa: |CD|² = 5² − 4² = 9, więc |CD| = 3 cm. Pole trójkąta: 8 · 3 : 2 = 12 cm².

3 pktpoprawny sposób obliczenia pola trójkąta, prawidłowe obliczenia i prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (12 cm²).
2 pktpoprawny sposób wyznaczenia długości boków trójkąta oraz poprawny sposób obliczenia wysokości opuszczonej na podstawę, np. zapisanie x + 2(x − 3) = 18 oraz |CD|² + 4² = 5² (D - środek podstawy AB).
1 pktzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą, z którego można wyznaczyć długości boków trójkąta, np. x + 2(x − 3) = 18, albo inny poprawny sposób wyznaczenia długości boków, np. obliczenie długości podstawy jako (18 + 2 · 3) : 3.
0 pktrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.

Jeżeli uczeń wyznacza długości boków metodą prób i błędów, to ten etap uznaje się za wykonany poprawnie tylko wtedy, gdy uczeń sprawdził, że długości 8 cm, 5 cm i 5 cm spełniają oba warunki zadania: obwód 18 cm oraz ramię o 3 cm krótsze od podstawy.

Nie ocenia się stosowania jednostki.

Nie akceptuje się rozwiązań opartych na pomiarze, np. linijką.

Uwagi ogólne do zadań otwartych

W każdym zadaniu otwartym poprawne rozwiązanie inną metodą daje pełną liczbę punktów.

Punkty za kolejny etap rozwiązania przyznaje się tylko wtedy, gdy wcześniejsze etapy uczeń rozwiązał poprawnym sposobem.

Jeżeli uczeń zapisuje kilka sprzecznych rozwiązań i nie wskazuje właściwego, to otrzymuje punkty tylko za poprawne etapy, które je poprzedzają.

Sam poprawny wynik albo sama odpowiedź, bez obliczeń, nie daje punktów.

phiboard.comArkusz nr 481 780 · Grupa B · dla nauczycielaKlucz, strona 1 z 2