Układam strony arkusza…
Próbna matura z matematyki z PhiBoard
z podpunktami
15 pkt (30%)
kalkulator prosty
Instrukcja
- Sprawdź, czy arkusz ma 12 stron (zadania 1-31 i brudnopis). Zadania 12, 14 i 18 mają podpunkty ze wspólnym wstępem.
- Pisz długopisem albo piórem z czarnym tuszem. Nie używaj korektora.
- W zadaniach zamkniętych zaznacz odpowiedź, otaczając kółkiem literę albo P lub F. Jeśli się pomylisz, przekreśl błędną odpowiedź i zaznacz inną.
- Gdy w zadaniu jest wykropkowane miejsce, wpisz w nie odpowiedź: liczbę, przedział albo litery.
- Rozwiązania pozostałych zadań otwartych zapisz w wyznaczonych miejscach, razem z obliczeniami.
- Możesz korzystać z karty Wybrane wzory matematyczne, cyrkla, linijki i kalkulatora prostego.
Zadanie 1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 3√2√2 jest równa
Zadanie 2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 3√53√5 jest równa
Zadanie 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia log2 x − 2log2 y jest równa wartości wyrażenia
Zadanie 4.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba (√3 + 1)2 − (√3 − 1)2 jest równa
Zadanie 5.
Wykaż, że liczba 353 + 926 + 2717 jest podzielna przez 13.
Zadanie 6.
Na osi liczbowej zaznaczono zbiór wszystkich rozwiązań jednej z podanych niżej nierówności (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zaznaczony zbiór jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Zadanie 7.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie 2(x + 2)2(x2 − 6) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
Zadanie 8.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (−4) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia x2 + xx2 + 8x + 16 · x + 4x jest równa wartości wyrażenia
Zadanie 9.
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.
Na to przedstawienie sprzedano łącznie 109 biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 20% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 3540 zł.
| Rodzaj biletu | Cena w złotych |
|---|---|
| Normalny | 45 |
| Ulgowy | 30 |
Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10.
Rozwiąż nierówność
−2x2 > −15x − 8
Zapisz obliczenia.
Zadanie 11.
Funkcja f jest określona następująco:
f(x) = 0 dla x ∈ (−3, 0)
f(x) = x dla x ∈ [0, 2]
f(x) = −2x + 6 dla x ∈ (2, 4)
Wykres funkcji y = f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
Dziedziną funkcji f jest przedział .
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne, jest przedział .
Zadanie 12.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (1, 1). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 3).
Zadanie 12.1.
Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja f jest malejąca w przedziale
Zadanie 12.3.
Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x) = f(x) − 3. Liczby x1 oraz x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji g.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Suma x1 + x2 jest równa .
Zadanie 13.
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax + b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta o mierze α jest równy
Zadanie 14.
Ciąg (an) jest określony wzorem an = −2n2 + 2n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1.
Zadanie 14.1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma S3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an) jest równa
Zadanie 14.2.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
| 1. | Ciąg (an) jest malejący. | P | F |
| 2. | Ciąg (an) jest geometryczny. | P | F |
Zadanie 15.
Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg
(1 − m, m2 − 1, 12m − 3)
jest arytmetyczny i malejący.
Zapisz obliczenia.
Zadanie 16.
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a1 = 9 oraz a2 = −18.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czwarty wyraz ciągu (an) jest równy
Zadanie 17.
Kąt o mierze α jest rozwarty oraz sin α = 23.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta o mierze α jest równy
Zadanie 18.
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC| = 3 i |BC| = 5. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD| = 2 (zobacz rysunek).
Zadanie 18.1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta ostrego ADC jest równy
Zadanie 18.2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta ostrego ABC jest równy
Zadanie 19.
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O.
Punkt B leży na krótszym łuku AC.
Kąt CDA ma miarę 60°, a kąt COB ma miarę 50° (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego BOA jest równa
Zadanie 20.
Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie A przecięto dwiema prostymi równoległymi k oraz l. Prosta k przecina ramiona tego kąta w punktach B oraz C. Prosta l przecina ramiona tego kąta w punktach D oraz E. Punkty B oraz D leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty C oraz E leżą na drugim ramieniu tego kąta.
Ponadto |AB| = 4, |BC| = 6 oraz |BD| = 2 (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek DE ma długość
Zadanie 21.
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 2, |BC| = 4 oraz |∡ABC| = 60° (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
| 1. | Długość boku AC jest równa 2√5. | P | F |
| 2. | Trójkąt ABC jest prostokątny. | P | F |
Zadanie 22.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie S = (0, 6). Odcinek AB, gdzie A = (8, 3) i B = (−8, yB), jest średnicą okręgu 𝒪.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współrzędna yB punktu B jest równa
Zadanie 23.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = 12x + 2. Prosta l jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt (3, −1).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta l przecina oś Oy w punkcie
Zadanie 24.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P = (−5, 12) leży na okręgu 𝒪 o środku w punkcie S = (−5, 6).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg 𝒪 jest określony równaniem
Zadanie 25.
Promień podstawy stożka jest równy 3. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°.
Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Zadanie 26.
Każda z krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego graniastosłupa jest równa
Zadanie 27.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0, 1, 2, 3, 4, jest
Zadanie 28.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.
Zdarzenie A polega na tym, że co najmniej w jednym rzucie wypadnie 3 oczka.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
Zadanie 29.
Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c, jest równa 12.
Średnia arytmetyczna dwóch liczb: d, e, jest równa 6.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: a, b, c, d, e, jest równa
Zadanie 30.
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 120 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
| Liczba punktów | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów | 16 | 17 | 25 | 23 | 16 | 23 |
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .
Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .
Zadanie 31.
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 4 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 40.
Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Klucz odpowiedzi i zasady oceniania
Zadania zamknięte - po 1 pkt
| Zadanie | Odpowiedź | Uwagi |
|---|---|---|
| 1 | B | 3√2√2 = (21 · 212)13 = (232)13 = 212 |
| 2 | A | 3√53√5 = (51 · 513)13 = (543)13 = 549 |
| 3 | B | 2log2 y = log2 (y2), więc log2 x − 2log2 y = log2 (xy2) |
| 4 | D | Z różnicy kwadratów: (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab, więc liczba jest równa 4√3 |
| 6 | A | Na rysunku jest przedział [−3, +∞). Nierówność −x + 1 ≥ −4x − 8 jest równoważna nierówności 3x ≥ −9, czyli x ≥ −3 |
| 7 | C | Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero. Czynnik (x + 2)2: x = −2 (pierwiastek podwójny). Czynnik (x2 − 6): x = −√6 lub x = √6. Różnych rozwiązań jest 3 |
| 8 | B | x2 + x = x(x + 1), x2 + 8x + 16 = (x + 4)2, po skróceniu: x + 1x + 4 |
| 12.2 | A | Ramiona paraboli są skierowane w górę, a pierwsza współrzędna wierzchołka to 1, więc funkcja jest malejąca w przedziale (−∞, 1] |
| 13 | A | Prosta przechodzi przez punkty (−2, 0) i (0, −5), więc tg α = a = −5 − 00 − (−2) = −52 |
| 14.1 | C | a1 + a2 + a3 = 0 + (−4) + (−12) = −16 |
| 14.2 | P, F | 1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: pierwsze wyrazy: 0, −4, −12 - ciąg jest malejący. Zdanie 2: pierwsze wyrazy: 0, −4, −12 - ilorazy nie są równe. |
| 16 | A | q = a2a1 = −2, więc a4 = a1 · q3 = −72 |
| 17 | A | cos2 α = 1 − sin2 α = 1 − (23)2 = 59, a kąt jest rozwarty, więc cos α = (−√53) |
| 18.1 | A | |AB| = √|BC|2 − |AC|2 = 4, |AD| = |AB| − |BD| = 2, więc cos ∡ADC = |AD||CD| = 2√13 = 2√1313 |
| 18.2 | C | |AB| = √|BC|2 − |AC|2 = 4, |AD| = |AB| − |BD| = 2, więc cos ∡ABC = |AB||BC| = 45 |
| 19 | C | Kąt środkowy AOC jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany CDA, więc |∡AOC| = 2 · 60° = 120°, a |∡BOA| = 120° − 50° = 70° |
| 20 | C | Z twierdzenia Talesa: |DE| : |BC| = |AD| : |AB|, więc |DE| = 6 · 6 : 4 = 9 |
| 21 | F, P | 1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: |AC|2 = 22 + 42 − 2 · 2 · 4 · cos 60° = 12, więc |AC| = 2√3. Zdanie 2: |AC|2 = 22 + 42 − 2 · 4 = 12, a 22 + 12 = 16, 42 = 16 - równość zachodzi (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa). |
| 22 | D | S jest środkiem AB: 6 = (3 + yB) : 2, więc yB = 2 · 6 − 3 = 9 |
| 23 | A | Prosta l: y = 12x + c i −1 = 12 · 3 + c, więc c = −52 |
| 24 | B | r2 = |SP|2 = 02 + 62 = 36, więc (x + 5)2 + (y − 6)2 = 36 |
| 26 | D | Pole podstawy: 6 · 42√34 = 24√3, objętość: 24√3 · 4 = 96√3 |
| 27 | B | Na kolejnych miejscach można postawić odpowiednio 4, 5, 5, 5, 3 cyfr, więc liczb jest 4 · 5 · 5 · 5 · 3 = 1500 |
| 28 | B | Wszystkich wyników jest 6 · 6 = 36. Wyniki sprzyjające: (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (5, 3), (6, 3), więc P(A) = 1136 |
| 29 | D | Suma wszystkich liczb to 3 · 12 + 2 · 6 = 48, więc średnia jest równa 48 : 5 = 9,6 |
Zadania otwarte
Zadanie 5. (0-2 pkt)
- 2 pktprzekształcenie liczby do postaci iloczynu liczby 13 i liczby całkowitej, np. 13 · 351.
- 1 pktzapisanie wszystkich składników jako potęg liczby 3: 353 + 352 + 351 ALBO wyłączenie wspólnego czynnika, np. 351 · (32 + 3 + 1).
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 9. (0-2 pkt)
- 2 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: y = 32.
- 1 pktzapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć szukaną wielkość, np. x + y = 109 oraz 0,8 · (45x + 30y) = 3540, ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego ją obliczyć, np. 45(109 − y) + 30y = 4425.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 10. (0-2 pkt)
- 2 pktzastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: x ∈ (−12, 8) ALBO zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału.
- 1 pktobliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 2x2 − 15x − 8: x1 = −12 oraz x2 = 8.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 11. (0-4 pkt)
- 4 pktpoprawne uzupełnienie czterech zdań.
- 3 pktpoprawne uzupełnienie trzech zdań.
- 2 pktpoprawne uzupełnienie dwóch zdań.
- 1 pktpoprawne uzupełnienie jednego zdania.
- 0 pktbrak spełnienia powyższych kryteriów.
Zadanie 12.1. (0-2 pkt)
- 2 pktpoprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji f w postaci kanonicznej: f(x) = 2(x − 1)2 + 1.
- 1 pktzapisanie wzoru funkcji f w postaci f(x) = a(x − 1)2 + 1 ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia a, np. 3 = a(0 − 1)2 + 1, ALBO obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika a: a = 2.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 12.3. (0-1 pkt)
- 1 pktpoprawne uzupełnienie zdania.
- 0 pktbrak spełnienia powyższego kryterium.
Zadanie 15. (0-3 pkt)
- 3 pktobliczenie i uzasadnienie, że jedyną wartością m, dla której ciąg (1 − m, m2 − 1, 12m − 3) jest arytmetyczny i malejący, jest 0.
- 2 pktwyznaczenie wartości m, dla których ciąg (1 − m, m2 − 1, 12m − 3) jest arytmetyczny: m = 0 oraz m = 112 ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą m, np. (m2 − 1) − (1 − m) = (12m − 3) − (m2 − 1), oraz rozwiązanie co najmniej jednej z nierówności: 1 − m > m2 − 1, m2 − 1 > 12m − 3, 1 − m > 12m − 3, ALBO obliczenie wszystkich wartości r, dla których ciąg jest arytmetyczny: r = −2 lub r = 1354, ALBO obliczenie wartości r, dla której ciąg jest arytmetyczny i malejący: r = −2.
- 1 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą m, np. (m2 − 1) − (1 − m) = (12m − 3) − (m2 − 1), ALBO zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć m i r, np. m2 − 1 = 1 − m + r oraz 12m − 3 = 1 − m + 2r, ALBO rozwiązanie co najmniej jednej z nierówności: 1 − m > m2 − 1, m2 − 1 > 12m − 3, 1 − m > 12m − 3.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 25. (0-3 pkt)
- 3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: V = 9√3π.
- 2 pktobliczenie wysokości stożka: H = 3√3 ALBO wyznaczenie objętości stożka w zależności od jednej wielkości z poprawnie zapisaną zależnością, np. 3H = tg 30°.
- 1 pktzapisanie zależności pozwalającej obliczyć H, np. 3H = tg 30°, ALBO zapisanie, że kąt między wysokością a tworzącą stożka ma miarę 30°.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 30. (0-2 pkt)
- 2 pktpoprawne uzupełnienie dwóch zdań.
- 1 pktpoprawne uzupełnienie jednego zdania.
- 0 pktbrak spełnienia powyższych kryteriów.
Zadanie 31. (0-4 pkt)
- 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: P(x) = −42x2 + 100x oraz D = (0, 2) oraz x = 2521.
- 3 pktwyznaczenie poprawnego wzoru funkcji P i jej dziedziny: P(x) = −42x2 + 100x oraz D = (0, 2) ALBO wyznaczenie poprawnego wzoru funkcji P (bez dziedziny) i prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x = 2521.
- 2 pktwyznaczenie poprawnego wzoru funkcji P (bez dziedziny): P(x) = −42x2 + 100x ALBO zapisanie zależności między wielkościami i wyznaczenie zakresu zmienności, np. 4(x + 4x + |AD|) = 40 oraz x ∈ (0, 2).
- 1 pktzapisanie zależności między wielkościami, np. 4(x + 4x + |AD|) = 40, ALBO zapisanie wzoru P = 2 · (x · 4x + x · |AD| + 4x · |AD|), ALBO wyznaczenie zakresu zmienności: x ∈ (0, 2).
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
-W każdym zadaniu otwartym poprawne rozwiązanie inną metodą daje pełną liczbę punktów.
-Punkty za kolejny etap rozwiązania przyznaje się tylko wtedy, gdy wcześniejsze etapy uczeń rozwiązał poprawnym sposobem.
-Jeżeli uczeń stosuje poprawne sposoby i doprowadza rozwiązanie do końca, ale popełnia błędy rachunkowe (albo błędnie przepisuje daną), to otrzymuje o 1 pkt mniej, niż wynosi maksymalna liczba punktów za zadanie.
-Jeżeli uczeń zapisuje kilka sprzecznych rozwiązań i nie wskazuje właściwego, to otrzymuje punkty tylko za poprawne etapy, które je poprzedzają.
-Sam poprawny wynik albo sama odpowiedź, bez obliczeń, nie daje punktów.
Próbna matura z matematyki z PhiBoard
z podpunktami
15 pkt (30%)
kalkulator prosty
Instrukcja
- Sprawdź, czy arkusz ma 12 stron (zadania 1-31 i brudnopis). Zadania 12, 14 i 18 mają podpunkty ze wspólnym wstępem.
- Pisz długopisem albo piórem z czarnym tuszem. Nie używaj korektora.
- W zadaniach zamkniętych zaznacz odpowiedź, otaczając kółkiem literę albo P lub F. Jeśli się pomylisz, przekreśl błędną odpowiedź i zaznacz inną.
- Gdy w zadaniu jest wykropkowane miejsce, wpisz w nie odpowiedź: liczbę, przedział albo litery.
- Rozwiązania pozostałych zadań otwartych zapisz w wyznaczonych miejscach, razem z obliczeniami.
- Możesz korzystać z karty Wybrane wzory matematyczne, cyrkla, linijki i kalkulatora prostego.
Zadanie 1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 3√3√3 jest równa
Zadanie 2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 3√23√2 jest równa
Zadanie 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia log2 x − 4log2 y jest równa wartości wyrażenia
Zadanie 4.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba (√3 + 3)2 − (√3 − 3)2 jest równa
Zadanie 5.
Wykaż, że liczba 425 − 245 jest podzielna przez 31.
Zadanie 6.
Na osi liczbowej zaznaczono zbiór wszystkich rozwiązań jednej z podanych niżej nierówności (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zaznaczony zbiór jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Zadanie 7.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie 3(x + 5)2(x2 − 7) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
Zadanie 8.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (−3) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia x2 + xx2 + 6x + 9 · x + 3x jest równa wartości wyrażenia
Zadanie 9.
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.
Na to przedstawienie sprzedano łącznie 205 biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 10% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 6363 zł.
| Rodzaj biletu | Cena w złotych |
|---|---|
| Normalny | 40 |
| Ulgowy | 30 |
Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10.
Rozwiąż nierówność
−3x2 > 13x − 56
Zapisz obliczenia.
Zadanie 11.
Funkcja f jest określona następująco:
f(x) = 0 dla x ∈ (−4, 0)
f(x) = 2x dla x ∈ [0, 1)
f(x) = 12x + 32 dla x ∈ [1, 3)
Wykres funkcji y = f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od 2, jest przedział .
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < 1 jest przedział .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość, jest przedział .
Zadanie 12.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3, 2). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, −7).
Zadanie 12.1.
Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja f jest malejąca w przedziale
Zadanie 12.3.
Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x) = f(x) + 2. Liczby x1 oraz x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji g.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Suma x1 + x2 jest równa .
Zadanie 13.
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax + b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta o mierze α jest równy
Zadanie 14.
Ciąg (an) jest określony następująco: a1 = 1 oraz an+1 = 2an + 1 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1.
Zadanie 14.1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma S3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an) jest równa
Zadanie 14.2.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
| 1. | Ciąg (an) jest malejący. | P | F |
| 2. | Ciąg (an) jest geometryczny. | P | F |
Zadanie 15.
Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg
(4 − m, m2 − 7, 2m − 3)
jest arytmetyczny i malejący.
Zapisz obliczenia.
Zadanie 16.
Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a1 = 9 oraz a2 = 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Czwarty wyraz ciągu (an) jest równy
Zadanie 17.
Kąt o mierze α jest rozwarty oraz sin α = 13.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta o mierze α jest równy
Zadanie 18.
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC| = √13 i |BC| = 7. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD| = 4 (zobacz rysunek).
Zadanie 18.1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta ostrego ADC jest równy
Zadanie 18.2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta ostrego ABC jest równy
Zadanie 19.
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O.
Punkt B leży na krótszym łuku AC.
Kąt CDA ma miarę 50°, a kąt COB ma miarę 20° (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego BOA jest równa
Zadanie 20.
Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie A przecięto dwiema prostymi równoległymi k oraz l. Prosta k przecina ramiona tego kąta w punktach B oraz C. Prosta l przecina ramiona tego kąta w punktach D oraz E. Punkty B oraz D leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty C oraz E leżą na drugim ramieniu tego kąta.
Ponadto |AB| = 5, |BC| = 4 oraz |BD| = 2 (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek DE ma długość
Zadanie 21.
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 8, |BC| = 12 oraz |∡ABC| = 60° (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
| 1. | Trójkąt ABC jest prostokątny. | P | F |
| 2. | Długość boku AC jest równa 4√19. | P | F |
Zadanie 22.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie S = (8, 2). Odcinek AB, gdzie A = (3, 5) i B = (13, yB), jest średnicą okręgu 𝒪.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współrzędna yB punktu B jest równa
Zadanie 23.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = 5x + 2. Prosta l jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt (4, 4).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta l przecina oś Oy w punkcie
Zadanie 24.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P = (−12, −2) leży na okręgu 𝒪 o środku w punkcie S = (−8, −2).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg 𝒪 jest określony równaniem
Zadanie 25.
Promień podstawy stożka jest równy 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.
Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Zadanie 26.
Każda z krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 5.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego graniastosłupa jest równa
Zadanie 27.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra setek i cyfra dziesiątek są równe, jest
Zadanie 28.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.
Zdarzenie A polega na tym, że co najmniej w jednym rzucie wypadnie 4 oczka.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
Zadanie 29.
Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c, jest równa 11.
Średnia arytmetyczna dwóch liczb: d, e, jest równa 7.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: a, b, c, d, e, jest równa
Zadanie 30.
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 120 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
| Liczba punktów | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów | 18 | 23 | 22 | 20 | 18 | 19 |
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .
Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .
Zadanie 31.
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 2 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 24.
Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Klucz odpowiedzi i zasady oceniania
Zadania zamknięte - po 1 pkt
| Zadanie | Odpowiedź | Uwagi |
|---|---|---|
| 1 | A | 3√3√3 = (31 · 312)13 = (332)13 = 312 |
| 2 | B | 3√23√2 = (21 · 213)13 = (243)13 = 249 |
| 3 | B | 4log2 y = log2 (y4), więc log2 x − 4log2 y = log2 (xy4) |
| 4 | D | Z różnicy kwadratów: (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab, więc liczba jest równa 12√3 |
| 6 | A | Na rysunku jest przedział [2, +∞). Nierówność 3x + 7 ≤ 5x + 3 jest równoważna nierówności −2x ≤ −4, czyli x ≥ 2 |
| 7 | C | Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero. Czynnik (x + 5)2: x = −5 (pierwiastek podwójny). Czynnik (x2 − 7): x = −√7 lub x = √7. Różnych rozwiązań jest 3 |
| 8 | B | x2 + x = x(x + 1), x2 + 6x + 9 = (x + 3)2, po skróceniu: x + 1x + 3 |
| 12.2 | D | Ramiona paraboli są skierowane w dół, a pierwsza współrzędna wierzchołka to 3, więc funkcja jest malejąca w przedziale [3, +∞) |
| 13 | A | Prosta przechodzi przez punkty (−1, 0) i (0, −5), więc tg α = a = −5 − 00 − (−1) = −5 |
| 14.1 | B | a1 + a2 + a3 = 1 + 3 + 7 = 11 |
| 14.2 | F, F | 1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: pierwsze wyrazy: 1, 3, 7 - ciąg jest rosnący. Zdanie 2: pierwsze wyrazy: 1, 3, 7 - ilorazy nie są równe. |
| 16 | C | q = a2a1 = 13, więc a4 = a1 · q3 = 13 |
| 17 | A | cos2 α = 1 − sin2 α = 1 − (13)2 = 89, a kąt jest rozwarty, więc cos α = (−2√23) |
| 18.1 | A | |AB| = √|BC|2 − |AC|2 = 6, |AD| = |AB| − |BD| = 2, więc cos ∡ADC = |AD||CD| = 2√17 = 2√1717 |
| 18.2 | D | |AB| = √|BC|2 − |AC|2 = 6, |AD| = |AB| − |BD| = 2, więc cos ∡ABC = |AB||BC| = 67 |
| 19 | B | Kąt środkowy AOC jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany CDA, więc |∡AOC| = 2 · 50° = 100°, a |∡BOA| = 100° − 20° = 80° |
| 20 | B | Z twierdzenia Talesa: |DE| : |BC| = |AD| : |AB|, więc |DE| = 4 · 7 : 5 = 5,6 |
| 21 | F, F | 1 pkt za obie poprawne oceny. Zdanie 1: |AC|2 = 82 + 122 − 8 · 12 = 112, a 82 + 112 = 176, 122 = 144 - suma kwadratów dwóch krótszych boków nie jest równa kwadratowi najdłuższego. Zdanie 2: |AC|2 = 82 + 122 − 2 · 8 · 12 · cos 60° = 112, więc |AC| = 4√7. |
| 22 | B | S jest środkiem AB: 2 = (5 + yB) : 2, więc yB = 2 · 2 − 5 = −1 |
| 23 | A | Prosta l: y = 5x + c i 4 = 5 · 4 + c, więc c = −16 |
| 24 | B | r2 = |SP|2 = (−4)2 + 02 = 16, więc (x + 8)2 + (y + 2)2 = 16 |
| 26 | C | Pole podstawy: 6 · 52√34 = 75√32, objętość: 75√32 · 5 = 375√32 |
| 27 | A | Cyfrę setek i równą jej cyfrę dziesiątek wybieramy raz (pierwsza cyfra różna od 0, ostatnia parzysta): 9 · 10 · 5 = 450 |
| 28 | B | Wszystkich wyników jest 6 · 6 = 36. Wyniki sprzyjające: (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (6, 4), więc P(A) = 1136 |
| 29 | D | Suma wszystkich liczb to 3 · 11 + 2 · 7 = 47, więc średnia jest równa 47 : 5 = 9,4 |
Zadania otwarte
Zadanie 5. (0-2 pkt)
- 2 pktprzekształcenie liczby do postaci iloczynu liczby 31 i liczby całkowitej, np. 31 · 245.
- 1 pktzapisanie liczby w postaci różnicy potęg o podstawie 2: 250 − 245 ALBO wyłączenie wspólnego czynnika 245 przed nawias.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 9. (0-2 pkt)
- 2 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: y = 113.
- 1 pktzapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć szukaną wielkość, np. x + y = 205 oraz 0,9 · (40x + 30y) = 6363, ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego ją obliczyć, np. 40(205 − y) + 30y = 7070.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 10. (0-2 pkt)
- 2 pktzastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: x ∈ (−7, 83) ALBO zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału.
- 1 pktobliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3x2 + 13x − 56: x1 = −7 oraz x2 = 83.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 11. (0-4 pkt)
- 4 pktpoprawne uzupełnienie czterech zdań.
- 3 pktpoprawne uzupełnienie trzech zdań.
- 2 pktpoprawne uzupełnienie dwóch zdań.
- 1 pktpoprawne uzupełnienie jednego zdania.
- 0 pktbrak spełnienia powyższych kryteriów.
Zadanie 12.1. (0-2 pkt)
- 2 pktpoprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji f w postaci kanonicznej: f(x) = −(x − 3)2 + 2.
- 1 pktzapisanie wzoru funkcji f w postaci f(x) = a(x − 3)2 + 2 ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia a, np. −7 = a(0 − 3)2 + 2, ALBO obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika a: a = −1.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 12.3. (0-1 pkt)
- 1 pktpoprawne uzupełnienie zdania.
- 0 pktbrak spełnienia powyższego kryterium.
Zadanie 15. (0-3 pkt)
- 3 pktobliczenie i uzasadnienie, że jedyną wartością m, dla której ciąg (4 − m, m2 − 7, 2m − 3) jest arytmetyczny i malejący, jest −52.
- 2 pktwyznaczenie wartości m, dla których ciąg (4 − m, m2 − 7, 2m − 3) jest arytmetyczny: m = −52 oraz m = 3 ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą m, np. (m2 − 7) − (4 − m) = (2m − 3) − (m2 − 7), oraz rozwiązanie co najmniej jednej z nierówności: 4 − m > m2 − 7, m2 − 7 > 2m − 3, 4 − m > 2m − 3, ALBO obliczenie wszystkich wartości r, dla których ciąg jest arytmetyczny: r = −294 lub r = 1, ALBO obliczenie wartości r, dla której ciąg jest arytmetyczny i malejący: r = −294.
- 1 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą m, np. (m2 − 7) − (4 − m) = (2m − 3) − (m2 − 7), ALBO zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć m i r, np. m2 − 7 = 4 − m + r oraz 2m − 3 = 4 − m + 2r, ALBO rozwiązanie co najmniej jednej z nierówności: 4 − m > m2 − 7, m2 − 7 > 2m − 3, 4 − m > 2m − 3.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 25. (0-3 pkt)
- 3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: V = 24√3π.
- 2 pktobliczenie wysokości stożka: H = 2√3 ALBO wyznaczenie objętości stożka w zależności od jednej wielkości z poprawnie zapisaną zależnością, np. 6H = tg 60°.
- 1 pktzapisanie zależności pozwalającej obliczyć H, np. 6H = tg 60°, ALBO zapisanie, że kąt między wysokością a tworzącą stożka ma miarę 60°.
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 30. (0-2 pkt)
- 2 pktpoprawne uzupełnienie dwóch zdań.
- 1 pktpoprawne uzupełnienie jednego zdania.
- 0 pktbrak spełnienia powyższych kryteriów.
Zadanie 31. (0-4 pkt)
- 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: P(x) = −14x2 + 36x oraz D = (0, 2) oraz x = 97.
- 3 pktwyznaczenie poprawnego wzoru funkcji P i jej dziedziny: P(x) = −14x2 + 36x oraz D = (0, 2) ALBO wyznaczenie poprawnego wzoru funkcji P (bez dziedziny) i prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x = 97.
- 2 pktwyznaczenie poprawnego wzoru funkcji P (bez dziedziny): P(x) = −14x2 + 36x ALBO zapisanie zależności między wielkościami i wyznaczenie zakresu zmienności, np. 4(x + 2x + |AD|) = 24 oraz x ∈ (0, 2).
- 1 pktzapisanie zależności między wielkościami, np. 4(x + 2x + |AD|) = 24, ALBO zapisanie wzoru P = 2 · (x · 2x + x · |AD| + 2x · |AD|), ALBO wyznaczenie zakresu zmienności: x ∈ (0, 2).
- 0 pktrozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
-W każdym zadaniu otwartym poprawne rozwiązanie inną metodą daje pełną liczbę punktów.
-Punkty za kolejny etap rozwiązania przyznaje się tylko wtedy, gdy wcześniejsze etapy uczeń rozwiązał poprawnym sposobem.
-Jeżeli uczeń stosuje poprawne sposoby i doprowadza rozwiązanie do końca, ale popełnia błędy rachunkowe (albo błędnie przepisuje daną), to otrzymuje o 1 pkt mniej, niż wynosi maksymalna liczba punktów za zadanie.
-Jeżeli uczeń zapisuje kilka sprzecznych rozwiązań i nie wskazuje właściwego, to otrzymuje punkty tylko za poprawne etapy, które je poprzedzają.
-Sam poprawny wynik albo sama odpowiedź, bez obliczeń, nie daje punktów.