Podzielność i reszty z dzielenia

Zadanie

Jakie reszty z dzielenia przez 4 może dawać kwadrat liczby całkowitej?

Przez którą z liczb dzieli się ta liczba dla każdej liczby całkowitej n?

(3n + 5)² − (3n − 5)²

Jaką liczbę należy wpisać w miejsce ☐, żeby rozumowanie było poprawne?

Liczba całkowita n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc n = 5k + 4 dla pewnej liczby całkowitej k. Stąd: n² = (5k + 4)² = ☐k² + 40k + 16 = 5(5k² + 8k + 3) + 1 Pierwszy składnik dzieli się przez 5, a ostatni jest liczbą naturalną mniejszą od 5, więc to on jest resztą z dzielenia n² przez 5.

Zadanie

Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 9 daje resztę 6. Jaką resztę z dzielenia przez 9 daje liczba n(n + 1)?

Przez którą z liczb dzieli się ta liczba dla każdej liczby całkowitej n?

(n + 2)² − (n − 11)²

Jaką liczbę należy wpisać w miejsce ☐, żeby rozumowanie było poprawne?

Liczba całkowita n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, więc n = 5k + 2 dla pewnej liczby całkowitej k. Stąd: n² = (5k + 2)² = 25k² + ☐k + 4 = 5(5k² + 4k) + 4 Pierwszy składnik dzieli się przez 5, a ostatni jest liczbą naturalną mniejszą od 5, więc to on jest resztą z dzielenia n² przez 5.

Zadanie

Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. Jaką resztę z dzielenia przez 5 daje liczba n² + 5?

Przez którą z liczb dzieli się ta liczba dla każdej liczby całkowitej n?

6n² + 6n

Jaką liczbę należy wpisać w miejsce ☐, żeby rozumowanie było poprawne?

Liczba całkowita n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, więc n = 3k + 1 dla pewnej liczby całkowitej k. Stąd: n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + ☐k) + 1 Pierwszy składnik dzieli się przez 3, a ostatni jest liczbą naturalną mniejszą od 3, więc to on jest resztą z dzielenia n² przez 3.

Zadanie

Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 8 daje resztę 1. Jaką resztę z dzielenia przez 8 daje liczba 6n²?